第1周 等差数列（讲义）-四年级上册数学人教版

第1周 等差数列 专题介绍 数列是一列有序的数，数列中的每一个数都叫作这个数列的项。等差数列，是指从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，其中这个常数叫作公差。等差数列中的规律可以总结为公式，方便在以后的学习中应用。 教材知识链接 整数的四则运算 数学思维链接 对应思维－－建立数列中的数与位置的对应关系，归纳出公式。 逆向思维－－对于等差数列公式的逆用。 类型1 求某一项与项数的问题 典型例题 学思维 已知一个数列为5，9，13，17，...，145，根据信息回答下面的问题。 （1）这个数列中，第20项是多少? （2）105 是这个数列的第几项? 思路引导 1.审题分析 题目要求第20项是多少以及105是这个数列的第几项，应该先观察数列，找到数与数之间的关系，进而总结规律并进行求解。 2.图解思路 第一步：分析数列类型。 5， 9， 13， 17，...... 145。 ＋4 ＋4 ＋4 观察发现，从第2项起，每一项与前一项的差都是4，因此，这是一个首项是5、末项是145、公差是4的等差数列。 第二步：找到某一项与其对应项数的关系。 第1项：5 某一项＝首项＋公差×（某一项的项数－1） 第2项：9＝5＋4＝5＋4×（2－1） 第3项：13＝5＋4＋4＝5＋4×（3－1） 某一项的项数＝（某一项－首项）÷公差＋1 第4项：17＝5＋4＋4＋4＝5＋4×（4－1） 笫三步：根据找到的数量关系进行解答。 现范棚答 （1）5＋4×（20－1）＝81 （2）（105－5）÷4＋1＝26 答：第20项是81。 答：105 是这个数列的第 26项。 方法归纳 1.找到等差数列的首项、末项、公差和项数。 2.某一项＝首项＋公差×（某一项的项数－1）。 3.某一项的项数＝（某一项－首项）÷公差＋1。 举一反三拓思维 1、数列1，3，5，7......中，第100项是多少? 变式：数列 4＋4，7＋9，10＋14，13＋19，16＋24......中，第30项是多少? 点拨：每一项可以拆分成两个数，整个数列可以看作两个等差数列。 2、数列 3，5，7，9......中，257 是这个数列的第几项? 变式：数列1，4，7，10，13......中，有7 个连续数的和是574，这7 个数中最小的数是数列中的第几项? 点拨：等差数列中，单数个连续数的和刚好是中间数的倍数。 3、已知一个等差数列的第9项是 131，第 10 项是 137，那么这个数列的第1 项是多少?第19 项是多少? 类型2 求和的问题 典型例题 学思维 已知数列3，8，13，18，......，133，这个数列中所有数的和是多少? 思路引导 1.审题分析：观察数列，从第2项起，每一项与前一项的差都是5，这是一个等差数列。首项是3，末项是133，公差是5。 2.图解思路 笫一步：首尾依次分组，和相同，那么可以把数列正着写和倒着写的两个和式相加，结果为这个数列的和的2倍。和 ＋ 和 ＝ 和的2倍 3＋8＋13＋18＋......＋123＋128＋133 133＋128＋123＋118＋......＋13＋8＋3 136＋136＋136＋136＋......＋136＋136＋136 笫二步：求数列中数的个数，即求有多少个136。 数列中数的个数也就是末项的项数，末项的项数＝（末项一首项）÷公差＋1， 即（133－3）÷5＋1＝27。 第三步：计算求和。 和＝（首项＋末项）×末项的项数÷2＝136×27÷2。 规范解答 （133－3）÷5＋1＝27 （3＋133）×27÷2＝1836 答：这个数列中所有数的和是1836。 方法归纳 1.求等差数列中末项的项数：末项的项数＝（末项－首项）÷公差十1。 2.求等差数列中所有项的和：和＝（首项＋末项）×末项的项数一2。 举一反三 拓思维 1、计算：1＋2＋3＋4＋5......＋100. 变式：计算：（1＋2＋3＋...＋2007＋2008＋2007＋...＋3＋2＋1）÷2008。 2、1∽100 中是5 的倍数的数的和是多少? 点拨：写出这些数，会发现这些数刚好组成一个等差数列。 3、已知等差数列15，19，23，......，239，这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少? 点拨：奇数是指不能被2整除的整数，即1、3、5、7......偶数是指能被2整除的整数，即2、4、6、8......此题要先分析奇数项与偶数项的个数，然后再计算。 融会贯通 1、已知数列2，7，12，17，....