第一章 特殊平行四边形-【支点·同步系列】2022-2023学年九年级上册初三数学（北师大版）

第一章 安当 同步系列 第一章 特殊平行四边形 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 心知识清单… (1)如图①，当点E在菱形ABCD的内部 知识点1菱形的定义 或边上时，连接CE,则BP与CE的数量关系 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 是 ,CE与AD的位置关系是 知识点2菱形的性质 (1)具有一般平行四边形的所有性质， (2)如图②，当点E在菱形ABCD的外 部，且点P在BD上时，(1)中的结论是否还成 (2)菱形的四条边都相等， 用数学符号语言表示：如图 立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明 所示，若四边形ABCD是菱形， 理由。 则AB=BC=CD=DA (3)菱形的对角线互相垂直，并且每条对 角线平分一组对角 图0 图② 用数学符号语言表示：如图所示，若四边 【分析】(1)连接AC,证明△ABP≌△ACE 形ABCD是菱形，AC,BD是对角线，则ACL 即可：(2)类比(1)中的方法解决问题. BD,且AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分 【解】(I)BP=CECE⊥AD ∠ABC和∠ADC (2)结论仍然成立，证明：如 图，连接AC,交BD于点O.设 (4)菱形的对称性 CE交AD于点H.,四边形 ①菱形是轴对称图形，共有两条对称轴： ABCD是菱形，.AB=BC=CD=DA, 两条对角线所在的两条直线. ∠ABC=∠ADC.又：∠ABC=60°，∴.∠ADC ②菱形是中心对称图形，对称中心是两条 =60°，∠ABP=∠CBP=30°，∴.△ABC, 对角线的交点。 △ACD都是等边三角形，∴.AB=AC,∠BAC 心典例精析 =60°.，△APE是等边三角形，AP=AE, 【例】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是 ∠PAE=60°，.∠BAP=∠CAE,∴.△BAP 射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边 ≌△CAE(SAS),.BP=CE,∠ABP= 三角形APE,点E的位置随着点P位置的变 ∠ACE=30°.：∠CAH=60°，∴∠CAH+ 化而变化， ∠ACH=90°，.∠AHC=90°，即CE⊥AD. 支点，梦想的起点 数学 BS版 九年级上册 念课时达标 二、填空题 一、选择题 5.如图，在□ABCD中，若∠1一∠2，则四边形 1.菱形不具备的性质是 ABCD的形状一定是 A.四条边都相等 B.对角线一定相等 6.(2021贵阳)如图，在平面直角坐标系中，菱 C.是轴对称图形 D.是中心对称图形 形ABCD对角线的交点坐标是O(0,O),点 2.(2021陕西)如图，在菱形ABCD中，∠ABC B的坐标是(0,1)，且BC=√5，则点A的坐 标是 -60,连接AC,BD,则S的值为 A.2 B② C v3 2 3 第6题图 常7题图 7.[教材4页习题第2题变式]如图，菱形AB 第2题因 第3题因 CD的对角线AC,BD相交于点O,AC-10,BD 3.如图，在菱形ABCD中，BC=10,点E在 =24,则菱形ABCD的周长为 BD上，F为AD的中点，EF⊥BD,垂足为 8.如图，在菱形ABCD中，ABD E,EF=4,则BD的长为 ( ) =4,∠BAD=120°，O是对角 A.8 B.10 C.12 D.16 线BD的中点.过点O作OE 4.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD ⊥CD于点E,连接QA,则四 第8题图 对角线BD的中点，AD∥x轴且AD=4,∠A 边形AOED的周长为 =60,将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在 三、解答题 x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标为 9.(2021菏泽)如图，在菱形 ABCD中，点M,N分别在 AB,CB上，且∠ADM A.(0,2w3) ∠CDN.求证：BM=BN. B.(2,-4) C.(23,0) D.(0,2√3)或(0，-23) 第4题图 第5题图 用好“支点”，赢在终点 第一章 安骂 同步系列 第2课时 菱形的判定 知识清单…… :AD∥BC,∠DGC-∠ADE. 知识点菱形的判定方法 ·DG=DC,∠DGC=∠C, (1)定义法：有一组部边相等的平行四边 .∠BAD=∠ADE,.AE=DE, 形是菱形 .四边形AEDF是菱形 用数学符号语言表示：如 【例2】如图，在□ABCD中，作对角线BD 图所示，，四边形ABCD是平 的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC 行四边形，AB=BC,.四边形 于点E,F,连接BE,DF.求证：四边形BFDE ABCD是菱形. 是菱形 (2)判定定理： 定理①：对角线互相垂直的平行四边形是 菱形 用数学符号语言表示：如图所示，，四边 【分析】根据平行四边形的性质以及全等 形ABCD是平行四边形，AC⊥BD,∴.四边形 三角形的判定方法证得△DOE≌△BOF,得到 ABCD是菱形