三棱锥外接球 专题讲义-2024届高三数学一轮复习

2024届高三一轮复习专项训练——三棱锥外接球 1 立体几何法 1.1 正方体和长方体的外接球 例1一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1, 2，3则此球的表面积为_____ . 例2 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________ . 1.2.1两组对棱相等的四面体 例3 一个正四面体的所有棱长都是，四个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积。 1.2.2 直角四面体外接球 例4若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是________。 1.2.3 双垂四面体的外接球 ( P B C A P B C A ) 如图4四面体中,若面,面,则该四面体称为双垂四面体 ( 图 3 ) 设，构造图3右图所示的长方体，其外接球半径可以求解，即 例5 已知点A、B、C、D在同一个球面上，面，，若，则B,C两点间的球面距离是______. 1.3 公式法 如图8所示,球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径，有如下关系： ( 图6 d R O \ 1 O S B A C O d 图 7 ) 1.3.1 一条侧棱垂于底面的三棱锥外接球 例6 已知三棱锥所有顶点都在球O上，面,若,,则球O的表面积_____. 练习：1.已知三棱锥中，侧面底面，，，则三棱锥外界球的表面积为（ ） A. B. C. D. 2.四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，面,是边长为3的等边三角形。若则球O的表面积为____. ( 图2-1 ) 3. 如图2-1，正三棱锥中M,N分别为SC,BC中点，并且,若侧棱长则三棱锥的外接球的表面积为_____. 说明：由于两两互相垂直，因此本题是直角四面体，用构造法求解更为简单。 4.已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） 1.3.2球心在三棱锥上 例7（已知点A、B、C是球O的球面上三点，,且棱锥的体积为，则球O的表面积是_____. 例8已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________。 2 空间直角坐标系法 根据题设条件建立适当空间直角坐标系，写出各顶点坐标，并设出球心坐标，利用球心到各顶点的距离相等，建立方程组。解方程组得到球心坐标，再计算球的半径。 例：已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A． B． C． D． 2 建立空间直角坐标系尽管可以求解大多数问题，但是存在建系繁琐，计算复杂等问题，在以单选题，填空题出现的外接球题目中，考生需要在几分钟内快速求解，而不是将它当成一道大型计算题，显然立体几何的方法更适合学生学习。 几个较难的问题 1. 在四面体ABCD中，，则四面体体积最大时，它的外接球半径是 2.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，则球的体积最小值为 3.已知球的直径为，是该球球面上的两点，，则棱锥的体积最大值是 。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届一轮复习专项训练——三棱锥外接球解析版 1 立体几何法 1.1 正方体和长方体的外接球 例1一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1, 2，3则此球的表面积为_____ . 解析：如图1所示，长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径2R，因此，求球的半径可转化为先求长方体的体对角线长，长方体体对角线长为，故球的表面积为. 例2 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________ . 解析：由例1可知，长方体内接于球，则其体对角线就是外接球半径。类似地，正方体可以看成特殊的长方体，所以其外接球半径满足，所以,再计算半径.故表面积为. 小结：一个长方体的长，宽，高分别是，它的外接球直径2R，则，即。 1.2.1两组对棱相等的四面体 例3 一个正四面体的所有棱长都是，四个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积。 解析：如图2所示构造正方体，其对角线所形成的四面体恰满足题意，设正方体边长为，则，。由公式可求得,所以表面积为。 例3也可以改成两组对棱分别相等，并给出相应的数值，求外接球的表面积或体积，此时要构造长方体，做法是类似地。 1.2.2 直角