立几 探索性动点问题 专练-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、解答题（共8小题） 1. 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，点D为BC的中点． (1)求证：A1B∥平面AC1D； (2)在线段A1C上是否存在一点E，使平面EAD与平面CAD的夹角的余弦值为？若存在，指出点E的位置；若不存在，说明理由． 2. 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点． (1)求证：平面AEF⊥平面PAD； (2)若G为PD的中点，AB＝AP＝2，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3. 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA⊥平面ABCD，二面角S－DC－A的大小为，E，F，G分别是SA，SB，BC的中点． (1)求证：SD∥平面EFG； (2)在线段BC上是否存在一点M，使得点A到平面EFM的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，PD＝AD，E为棱PC的中点． (1)求证：平面PBC⊥平面PCD； (2)求直线DE与平面PAC所成角的正弦值； (3)若F为AD的中点，在棱PB上是否存在点M，使得FM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 5. 如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且A1P＝λA1B1. (1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN； (2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由． 6. 已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2AB，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点． (1)求平面EFG与平面ABCD夹角的大小； (2)在线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 7. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是棱CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点． (1)求证：DF⊥AE. (2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为？若存在，请说明点D的位置；若不存在，请说明理由． 8. 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，CD＝AD＝AB，∠PAD＝45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD． (1)求证：DE∥平面PBC； (2)求平面GPC与平面PBC夹角的余弦值． (3)在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是，若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由． 试卷第4页 共4页 $$ 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、解答题（共8小题） 1. 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，点D为BC的中点． (1)求证：A1B∥平面AC1D； (2)在线段A1C上是否存在一点E，使平面EAD与平面CAD的夹角的余弦值为？若存在，指出点E的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明　设A1C交AC1于点F，则F为A1C的中点，连接DF.因为点D为BC的中点，所以在△A1BC中，A1B∥DF，而DF⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D. (2)解　以C为原点，以CA所在直线为x轴，在平面ABC内以过点C且垂直于AC的直线为y轴，以CC1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 假设在线段A1C上存在一点E，使平面EAD与平面CAD的夹角的余弦值为. 过点E作EM⊥AC于点M，则EM⊥平面ABC， 设EM＝h(0<h<3), 则A(2,0,0)，D，E， 所以＝，＝.依题意知＝(0,0,3)为平面ADC的一个法向量．设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，可得n＝， 所以|cos〈，n〉|＝＝＝， 解得h＝. 所以存在符合题意的点E，此时点E为A1C的中点． 2. 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，E为B