11.1 与三角形有关的线段 同步培优练习 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 内容提要 新知廊 过典例 重难斩 求甚解 清易错 学攻略 新知廊 一、三角形有关概念 1．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形． 2．三角形的基本元素： （1）三角形的三条边：即组成三角形的线段． （2）三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角． （3）三角形的顶点：即相邻两边的公共端点． 3．三角形的特征： （1）三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形． 4．三角形的符号表示： 三角形用符号“△”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”． 【注意】①△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义； ②三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示． ③平时所说的三角形的角是指三角形的内角． ④三角形三个顶点的字母的次序可以任意调换．△ABC也可以写成“△BAC”“△BCA”“ACB”等． 二、三角形的分类 1．按边分类： 2．按角分类： 【注意】三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形． 三、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边． 推论：三角形任意两边之差小于第三边． 四、三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高． 如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线． 如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线． 推理语言 ∵是的高， ∴， （或）． ∵是的中线， ∴． ∵是的角平分线， ∴． 用途举例 （1）得到线段垂直； （2）得到角相等． （1）得到线段相等； （2）得到面积相等． 得到角相等． 线段在图中的位置 锐角三角形 三条高全在三角形内． 三条中线全在三角形内． 三条角平分线全在三角形内． 直角三角形 三角形内一条，另外两条与两直角边重合． 钝角三角形 三角形内一条，三角形外两条． 线段（或其所在直线）的交点位置 锐角三角形 交点在三角形内． 三条中线交于三角形内一点（这一点称为三角形的重心）． 交点在三角形内． 直角三角形 交点在直角顶点处． 钝角三角形 交点在三角形外． 共同点 每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们（或所在的直线）都分别交于一个点，它们都是线段． 五、三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性． （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． （2）三角形的稳定性在生产和生活中应用广泛．例如房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． 求甚解 1．（1）三角形的表示方法中，“△”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点字母，字母的顺序可以自由安排． （2）角的两边为射线，三角形的三条边为线段． 2．四边形没有稳定性．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺，伸缩门等． 3．三角形的角平分线与角的平分线 三角形的角平分线是一条线段，可以度量；角的平分线是一条射线，不能度量． 4．三角形的中线是一条线段． 5．三角形的高与垂线 三角形的高是一条线段，而垂线是一条直线． 过典例 题型1　　三角形三边关系 例1下列能组成三角形的线段的长（单位：厘米）是　　 A．10，10，12 B．6，7，1 C．3，3，7 D．2，4，6 【答案】 【解答】解：．，能组成三角形，故此选项符合题意； ．，不能组成三角形，故此选项不合题意； ．，不能组成三角形，故此选项不符合题意； ．，不能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：． 例2用一根小木棒与两根长分别为，的小木棒围成一个三角形，则这根小木棒的长度可以为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设第三根木棒长为，由三角形三边关系定理得， 所以的取值范围是， 观察选项，只有选项符合题意． 故选：． 清易错 判断三条线段能否组成三角形．若两条较短的线段长之和大于最长的线段的长，则三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． 题型2　　三角形的稳定性 例3如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是　　 A．三角形的稳定性 B．