3.1.1函数的概念 教案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

《3.1.1函数的概念》 授课年级 高 一 主备人 审核人 课题名称 函数的概念 课型 新 课 授课日期 学情分析* 函数在高中数学中占有很重要的比重,因而作为函数的第一节内容,课本主要从四个实例出发,引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数,求定义域和函数值,再结合三要素判断函数相等. 初中我们已经了解了“变量说”下函数的概念. 学习目标 课程目标 1.感受函数的的“变量说”与“对应关系说” 2.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则 3.掌握判定函数和函数相等的方法 4.学会求函数的定义域与函数值 数学学科素养 1.数学抽象:通过教材中四个实例总结函数定义; 2.逻辑推理:相等函数的判断; 3.数学运算:求函数定义域和求函数值; 4.数据分析:运用分离常数法和换元法求值域; 5.数学建模:通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动,培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力,提高学生的抽象概括能力。 教学重点 建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念,在此过程中培养学生的数学抽象素养 教学难点 从不同问题情境中提炼出函数要素,并由此抽象出函数概念;理解函数的对应关系. 教具准备* (辅助工具) 教学方法:以学生为主体,采用诱思探究式教学,精讲多练 教学工具:多媒体 流程及时间安排: 教学过程: 1、 情景导入 初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等,那么在初中函数是怎样定义的?高中又是怎样定义? 【要求】让学生自由发言,教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 答:初中函数的定义:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量和,并且对于的每一个确定的值,都有唯一确定的值与其对应,我们就把称为自变量,把称为因变量,是的函数. 初中学生学习的是具体函数,并且关注的是变量之间的依赖关系,虽然涉及变量之间的对应,但这里的“对应”仅是自然语言,而不是数学中的对应关系,也不关注变量的变化范围. 2、 预习课本,引入新课 阅读课本页,思考并完成以下问题 1. 在集合的观点下函数是如何定义?函数有哪三要素? 2. 如何用区间表示数集? 3. 相等函数是指什么样的函数? 要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。 3、 新知探究 1.函数的概念 (1)函数的定义: 一般地,设,是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作 . 其中,叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域;与相对应的值叫做函数值, 函数值的集合叫做函数的值域.显然,值域是集合的非空子集. 【注】 (1),都是非空数集,因此函数的定义域(或值域)不能为空集. (2)定义域、值域、对应关系是函数的三要素,缺一不可,其中对应关系是核心,定义域是根本,当定义域和对应关系确定时,值域也就确定了. (3)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性.即对于非空数集中任意一个(任意性)元素,都有(存在性)唯一(唯一性)的元素与之对应.这三性只要有一个不满足,便不能构成函数. (2)函数的定义域与值域: 函数.其中,叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域; 与相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.显然,值域是集合的非空子集. 2.区间概念 设,是两个实数,而且.我们规定: (1)满足不等式的实数的集合叫做闭区间,表示为; (2)满足不等式的实数的集合叫做开区间,表示为; (3)满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间,分别表示为,. 这里实数都叫做相应区间的端点. 在图中,用实心表示包括在区间内的端点,用空心表示不包括在区间内的端点. 实数集可以用区间表示为,“”读作“无穷大”,“”读作“负无穷大”,“”读作“正无穷大”. 如下表,我们可以把满足的实数的集合,用区间表示. 四、典例分析、举一反三 题型一 函数的定义 例1 下列选项中(横轴表示轴,纵轴表示轴),表示是的函数的是( ) 【答案】D 【解题技巧】 1.(图形判断)是的函数,则函数图象与垂直于轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象. 2.(对应关系判断)对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系;“一对多”的不是函数关系. 【练习1】判断与是否是函数? 【练习2】 题型二 同一函数 例2 下列函数中哪个与函数是同一函数? (1);(2);(3);(4); 【解题技巧(判断函数相等的方法)】 1.先看定义域是否相同; 2.化简函数解析式,看对应关系是否相等. 【练习1】试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①; ②; ③; ④. ⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系与一次函数. 其中表示相等函数的是 (填上所