精品解析：河南省商丘市宁陵县高级中学2023-2024学年高二上学期第一次考试数学试题

宁陵高中2023--2024学年高二上学期考试（一） 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在三棱柱中，，若点为的中点，则（ ） A B. C. D. 3. 已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是(　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥P-ABC中，M是平面ABC上一点，且5=t+2+3，则t=（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. -2 6. 如图，在平行六面体中，，，，，，，则用表示及线段的长为分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 下列选项中，不正确的命题是（ ） A. 若两条不同直线，的方向向量为，，则 B. 若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 C. 若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D. 若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使 二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知四面体中，，，两两垂直，则以下结论中一定成立的是（ ） A. ； B. C. ； D. 10. 给出下列命题，其中正确命题是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 11. 如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则下列结论错误的为（　　） A. 是正三棱锥 B. 直线平面ACD C. 直线AD与OB所成的角是45° D. 二面角为45° 12. 在正方体中，分别为棱上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则（　　） A. 当时，平面 B. 当时，平面 C. 当时，存在点，使四点共面 D. 当时，存在点，使三条直线交于同一点 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为______． 14. 在四棱锥P­ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，，，，试用基底表示向量＝________. 15. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为__________ 16. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，，AP与AB，AD的夹角都是60°，若M是PC的中点，则直线MB与AP所成角的余弦值为_____________. 四．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 17. 已知向量． （1）求； （2）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （3）若向量与向量共面向量，求的值． 18. 已知四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，． （1）求点A到平面的距离： （2）求平面与平面的夹角的大小． 19. 如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥. （1）设平面平面，证明：⊥平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 20. 三棱柱中，，，. （1）证明:； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 21. 如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）. （1）若为的中点，求证：平面. （2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由. 22. 如图所示，在直三棱柱中，，，，. （1）求证：； （2）在上否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理