2.1 直线的倾斜角与斜率（2课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

引 入 解析几何 勒奈·笛卡尔（1596-1650）：法国数学家、科学家和哲学家 皮埃尔·德·费马（1601-1665），法国律师和业余数学家 坐标系 点 数 (有序数对或数组) 几何 代数 曲线(点的轨迹)的方程 研究几何图形性质 代数方法 直线 直线的方程 几何要素 圆的方程 解决实际问题 圆 平面直角坐标系 代数方法 数形结合思想 以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法. 几何图形 代数表示 由形到数 由数到形 解析几何基本思想 平面几何中点是构成直线的基本元素． 本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素. 坐标 点 平面直角坐标系 如何用坐标表示直线呢？ 2.1.1 倾斜角与斜率 Q1：如何确定一条直线的位置？ 两点可确定一条直线 一点和一个方向可确定一条直线 Q2：过一点可作多少条直线？ 它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？ 直线方向不同 直线的倾斜程度不同 直线的倾斜角不同 表示 “形” Q3：怎样描述这种“倾斜程度”的不同? 1. 直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 规定：当直线l 和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0° （2）范围：直线的倾斜角α的取值范围为[0°，180°). x y o α l Q4：任何一条直线都有唯一确定的倾斜角与它对应吗？ O y x l1 α1 l2 l3 α2 α3 每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线吗? 直线l 唯一倾斜角α 方向相同的直线(平行或重合) 倾斜角α 结论：（3）方向相同的直线，倾斜角相同 2. 直线的斜率 O y x α O y x α α • • 探究 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α，P1(x1, y1), P2(x2, y2),（其中 x1≠x2）是直线l上两点,α与P1, P2的坐标有关系吗？ (1) 已知直线l经过O(0, 0), P( , 1), α与O, P的坐标有什么关系? (2) 如果直线l经过P1(-1, 1), P2( , 0), α与P1, P2的坐标又有什么关系? （3）在平面直角坐标系中，如果直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2,那么α与P1, P2的坐标有关系吗？ 追问 当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗? 为什么? 定义：把一条直线的倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率，常用k表示. α的范围 k的范围 k=0 k>0 k不存在 k<0 与x轴垂直 与x轴平行或重合 直线的倾斜角越大，斜率越大( ) α为锐角时，α越大，斜率越大，k由0变化到+∞； α为钝角时，α越大，斜率越大，k由-∞变化到0； 所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率. 2.2直线的斜率——两点坐标 基础练习——倾斜角与斜率的关系 3. 典型例题 例1 如图示, 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. O y x A(3,2) B(-4,1) C(0,-1) 1 -1 -2 例2 (1)若直线l的倾斜角α满足45°<α<120°，求直线l的斜率k的取值范围． (2)若直线l的斜率k满足k≥，求直线l的倾斜角α的取值范围． (3)若直线l的斜率k满足k≤，求直线l的倾斜角α的取值范围． (4)若直线l的斜率k满足﹣1<k<1，求直线l的倾斜角α的取值范围． O 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 复习回顾 4. 斜率与方向向量 1. 倾斜角 直线的确定： 一个点和一个方向确定一条直线. x o α l 2. 斜率： 方向向量 直线的方向 3. 斜率公式： 倾斜角与斜率的对应关系 k=tanα (α≠90°). （x1≠x2） 方向向量的坐标（x，y) 数 直线相对于x轴的倾斜程度 转化 几何问题 代数问题 直线的位置关系 ？ O y x 1. 当斜率存在时, 设直线l1, l2的斜率分别为k1, k2, 则有 若没有特别说明，说“两条直线l1, l2”时，指两条不重合的直线. 3. 若直线l1, l2重合，此时仍然有k1 =k2. 用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论 . 2. 当斜率不存在时, 它们的倾斜角都为 90°, 显然有l1 // l2. 1. 两条直线平行的判定 l1∥l2 tanα1=tanα2 α1=α2 k1=k2 ⇔ ⇔ ⇔ 条件：两条直线不重合且都有斜率 题型点拨——用斜率关系判断直线的位置关系或形状 先画图预判 再用斜率验证 例2.已知A(2,3),B(-4