精品解析：上海市格致中学2024届高三上学期开学考试数学试题

格致中学高三开学考数学试卷 2023.09 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 不等式的解集是____________． 2. 已知，则函数的解析式为______. 3. “或”是“”的______条件. 4. 若，则______. 5. 若三点不能构成三角形，则______. 6. 某市高考新政规定每位学生在物理､化学､生物､历史､政治､地理中选择三门作为等级考试科目，则甲､乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有___________种.（用数字作答） 7. 集合，则______. 8. 已知，则的最小值为______. 9. 定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离.若二面角内一点到二面角的两个半平面的距离分别为和，到棱的距离为，则此二面角的大小是______. 10. 如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______. 11. 已知函数，在上可导，若，则成立.英国数学家泰勒发现了一个恒等式：，则________________ . 12. 已知曲线的方程为，则下列说法中： ①无论取何值，曲线都关于原点中心对称； ②无论取何值，曲线关于直线和对称； ③存在唯一的实数使得曲线表示两条直线； ④当时，曲线上任意两点间距离的最大值为； ⑤当时，曲线是双曲线. 所有正确序号是______. 二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分） 13. 已知直线，若直线同时满足下列条件：①与异面；②与成定角；③与距离为定值；则这样的直线 A. 唯一确定 B. 有两条 C. 有四条 D. 有无数条 14. 某校举办“学党史、育文化”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确是（ ） ①的值为0.005； ②估计成绩低于60分的有25人； ③估计这组数据的众数为75； ④估计这组数据的第85百分位数为86. A. ②③ B. ①③④ C. ①② D. ①②③ 15. 已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（ ） A B. C. D. 16. 定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 如图，已知正方体的棱长为分别为的中点. （1）已知点满足，求证四点共面； （2）求点到平面距离. 18. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）能否有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ （2）社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； （3）用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求“共轭点对”中点所在直线的方程； （3）设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 21. 对于函数导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同