海南省海口市秀英区海口嘉勋高级中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

1 / 2 海口嘉勋高级中学 2023 年 9 月高二年级开学考数学试卷 一、单选题(本题共 8小题，每题 5分，共 40分) 1．下列说法： ①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任意一个向量共线． 其中，正确说法的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知向量 ＝（1，2）， ＝（3，1），则 ﹣ ＝（ ） A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0） D．（4，3） 3．若复数 z＝（2﹣i）（4﹣i），则 z 的共轭复数为（ ） A．﹣7﹣6i B．﹣7+6i C．7﹣6i D．7+6i 4．200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60，70）的汽车大约有（ ） A．30 辆 B．40 辆 C．60 辆 D．80 辆 5．从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球则这 2 个球的编号之和为偶数的概率是（ ） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为 ， ， ，那么三人中恰有两人合格的概率是（ ） A． B． C． D． 7．已知 a，b 为两条不同的直线，α，β 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若 a∥b，b⊂α，则 a∥α B．若 a⊂α，b⊂β，a∥b，则 α∥β C．若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a∥b D．若 α∥β，a⊂α，则 a∥β 8．如图所示，已知 AD，BE 分别为△ABC 的边 BC，AC 上的中线， ＝ ， ＝ ，则 ＝（ ） A． + B． + C． ﹣ D．﹣ + 二、多选题(本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分） 9．若 a，b∈R，且（a+i）i＝b+i，则（ ） A．a＝1 B．a＝﹣1 C． b＝1 D． b＝﹣1 10．棱台具备的特点有（ ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点 11．如图，在四面体 PABC 中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F 分别是棱 AB，BC，CA 的中点，则下列结论中成立 的是（ ） A．BC∥平面 PDF B．DF⊥平面 PAE C．平面 PDF⊥平面 PAE D．平面 PDF⊥平面 ABC 12．为了了解参加运动会的 2000 名运动员的年龄情况，从中抽取了 20 名运动员的年龄进行统计分析．就这个问 题，下列说法中正确的有（ ） A．2000 名运动员是总体 B．所抽取的 20 名运动员是一个样本 C．样本容量为 20 D．每个运动员被抽到的机会相等 2 / 2 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分) 13. ﹣4+5i+（i﹣2）2＝ ． 14．已知 、 是两个不共线的向量， ＝k2 +（1﹣ k） 和 ＝2 +3 是两个共线向量，则实数 k ＝ ． 15．某钢木家具厂为某游泳比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂生产的 2500 套座椅进行抽检，共抽检了 100 套，发现有 5 套次品，则该厂生产的 2500 套座椅中大约有 套次品． 16．在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，AB＝3，BC＝2， ，求 sin∠ABD 的值 ． 四、解答题(本题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17（10 分）．如图，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点，E、F 分别是 PA、BD 上的点且 E、F 分别 是 PA、BD 的中点．求证：EF∥平面 PBC． 18（12 分）．设 A，B，C，D 为平面内四点，且 A（1，3），B（2，﹣2），C（4，﹣1）． （1）若 ，求 D 点坐标； （2）设向量 ，若 与 平行，求实数 k 的值． 19（12 分）．某数学兴趣小组共有 5 名学生，其中有 3 名男生 A1、A2、A3，2 名女生 B1、B2，现从中随机抽取 2 名学生参加比赛． （1）问共有多少个基本事件（列举说明）？ （2）抽取的学生恰有一男生一女生的概率是多少？ 20（12 分）．已知三棱锥 P﹣ABC 中，PC⊥底面 ABC，AB＝BC，D、F 分别为 AC、PC 的中点，DE⊥AP 于 E． （Ⅰ）求证：AP⊥平面 BDE； （Ⅱ）求证