第11讲 13.3.2等边三角形（新知+题型+模型+预测+练习）-2023-2024学年八年级数学上册考点解读易错警示题型梳理及考向预测（人教版）

第11讲 13.3.2等边三角形（原卷版） 一、新知解读 知识点1 等边三角形性质 1．（2020秋•丰南区期中）等边三角形的两个内角平分线所成的锐角是（　　） A．30° B．50° C．60° D．90° 2．（2023•沂源县二模）如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 3．（2022秋•栖霞区校级月考）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是（　　） A．2 B．3 C．2 D．2 4．（2022秋•徐州期中）如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE． 知识点2 等边三角形的判定 5．（2022春•嘉定区校级期末）下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120° C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC 6．（2022春•东平县校级期末）如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（　　） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 7．（2020秋•惠州期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF． 求证：（1）∠B＝∠C； （2）△ABC是等边三角形． 知识点3 等边三角形性质与判定的综合运用 8．（2021•高新区模拟）如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝1cm，BC＝3cm，CD＝3cm，DE＝2cm，则这个六边形的周长是：　 　． 9．（2023春•东源县期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求证：AD＝BE； （2）求∠DOE的度数； （3）求证：△MNC是等边三角形． 2、 题型梳理 题型1 等边三角形的判定和性质的综合应用 典例1 如图，E为等边△ABC的边BC上一点，∠CAE＝∠CBD，AE＝BD，求证：△CDE为等边三角形． 针对练习 1．（2020秋•玄武区期中）已知：如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）求证：△ODE是等边三角形． （2）求证：点O在∠A平分线上． 题型2 共顶点等边三角形 典例2 已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A、E在BC的同侧． （1）如图1，点D在BC上，写出线段AC、CD、CE之间的数量关系，并证明； （2）如图2，若点D在BC的延长线上，其它条件不变，直接写出AC、CD、CE之间的数量关系． 针对训练 1．（2023春•毕节市期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F． （1）求证：AN＝BM； （2）求证：△CEF为等边三角形． 题型3 作平行线构造等边三角形 典例3（2022秋•桂平市期末）如图，已知点D是等边三角形ABC中BC边所在直线上的点，连接AD，过点D作∠ADF＝60°，DF与∠ACB的邻补角的平分线交于点F． （1）如图①，当点D在线段BC上时，过点D作DE∥AC，且交AB于点E．求证：BD＝BE； （2）如图①，在（1）的条件下，求证：BC＝CD+CF； （3）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，（2）中线段BC，CD，CF之间的数量关系式还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出线段BC，CD，CF之间新的数量关系式，并说明理由． 针对练习 1．（2019秋•甘州区校级期末）已知△ABC是等边三角形，延长BA到点E，延长BC到点D，使得AE＝BD，连接CE，DE，求证：CE＝DE． 2．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC．若AE＝2，求BD的长． 题型4 与等边三角形有关 的动态探究题 典例4（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A点坐标为（0，1），点B为y轴上位于A点上方的一个动点，以BP为边向BP的右侧作等边△PBC，连接CA，并延长CA交x轴于点E． （1）求证：OB＝AC； （2）当点B在运动时，AE的长度是否发生变化？请说明理由； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 针对练习 1．（1）如图，在等边△ABC中，在BC边上任取一点P，过点P作AC的平行线，过点C作