2023年南京大学【匡亚明学院】 & 【天文学拔尖班】二次选拔考试数学试题

2023年南京大学【匡亚明学院】&【天文学拔尖班】 二次选拔考试数学试题 第一题(20分) 对于数列{an},规定数列{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中 △an=a+1-a.(n∈N):一般地，规定{△*an}为数列{an}的k阶差分数列，其中 △*an=△-1an+1-△k-1an=△(Ak-lan), 且k∈N”,k≥2 (1)已知数列am}的通项公式an=n2+n(n∈N),试判断{△am}、{△2an}是否为等 差数列或等比数列，并说明理由： (2)若数列{am}的首项a1=1,且满足：△2an-△an+1+am=-2”(n∈N*),求数 列{an}的通项公式： (3)对(2)中的数列{an},是否存在数列{bn},使得 bCh+b2C号+…+bnCg=an 对一切n∈N都成立？若存在，求数列{b}的通项公式：若不存在，请说明理由. 第二题(20分) 设x≥y2z之 12 ,且E十y十之= 2 求乘积C0sxsi山yC082的最大值和最小值， 第三题(30分)】 已知a,B是方程4x2-4t红-1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f八x)= 2x -t 的定义域 x2+1 为a, （1)求g(t)=fz)max-f(x)min (2)求证：对于4∈(0，)=12,3)，若in1+sim+i血购=1，则 1 3 g(tanu）g(tan2) g(tan ug)】 第四题(30分) 过抛物线=2px外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N,F为抛物线的焦点.证明： (1)IPF2=MF·lNF: (2)∠PMF=∠FPN. 2023年南京大学【匡亚明学院】&【天文学拔尖班】 二次选拔考试数学试题解析 第一题： 本题题源：2008年南京市质检题 解：(1)由题意，△an=an+1-am=[(n+1)2+(n+1】-(n2+n)=2n+2, △2am=△am+1-△an=[2(n+1)+2]-(2n+2)=2. 所以{△a}是等差数列，{△2an}同时是等差数列和等比数列 (2)由于 △2an-△an+1+an =△an+l-△an-△an+l+an =-△an+an=-(an+1-an）+an =-an+1+2am, 所以an+1一2an=2”.两边同除以2n+1,可得 an+l an1 2-20=2 故数列（贸}是首项为公差为5的等差数列，从而学 2,a}的通项公式是 an n.2n-1. (3)首先当n=1时，b1=a1=1:当n=2时，2b1+b2=a2=4,则b2=2:当n=3 时，3b1+3b2+b3=12,得b3=3:当n=4时，4b1+6b2+4b3+b4=32,得 b4=4.一投地，猜测bn=n. 用第二数学归纳法证明如下：假设bm=m的结论对m≤n成立，下面证明结论对m=n十1 成立，即证明b+1=n十1.因为 b1Ch+1+b2C%+1+…+bnC%+1+bn1C}=an+1 可化简为 kC1+b1=+)2四 而 (n+1)月 kCh+1=k·n+1-k (n+1)月 =(k-1)(n-k-1月 =(m+1)C骑1. 故 m+1)∑C-1+bn1=(m+1)2", k=1 而公C哈1=(1+1”-C网=2”-1，因此 bn+1=(n+1)·2"-(n+1)·(2”-1)=n+1. 故结论对m=n+1也成立. 综上，这样的数列{bn}存在，并且bm=n, 第二题： 本题题源：1997年全国高中数学联赛. 解：由于x之y之z之2，故x≤2-2 ×2= ：3a22+y+2= 得 个 x2 所以 cos x sin y cos z=cosx× 2 [sin(v+z刘+sin(gy-z训 1 = 2c0s2+ 2cos a sin(y-2) 1 2T 22c0s3 =8 即最小值，当x= 3y=2= 时取最小值， 12 另一方面，为了求最大值，首先 C0 sx sinyc0sz=cosz× sin(+y)-sin(-y)] 2 1 2cos zsin(-y). 由于sin(x-)≥0，cosz>0,故 1 cos a sin ycos z≤ =20s2 2 1 =21+cos = 2+v3 8 当x=y= 5π 242=12 时取最大值。 综上，coss的最大值是2+V ,最小值是 8 8 第三题： 本题题源：2004年全国高中数学联塞， 解：@油草.a+B=t,a8=,故a<0,月>0.并相 f()= 2(z2+1)-2x(2x-t) (x2+1)2 -2(x2-xt)+2 (x2+1)2 当x∈[a,3时，x2-xt<0,于是f(x)>0,即f(x)在a,上单词递增.所以 利=f0-fa=+i 20-t 2a-t a2+1 (28-t)(a2+1)-(2a-t)(2+1) (a2+1)(82+1)