3.1.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第2课时 直线与椭圆的位置关系 课程内容标准 学科素养凝练 1进一步掌捏椭圆的方程及其性质的应用. 2.会判断直线与椭圆的位置关系. 通过直线与椭圆的位置关系的运用，发展直 3能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的 观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养。 弦长、中点弦问题」 课前预习案 自主学习必备知识积累 [对应学生用书P] 一、点与椭圆的位置关系 点P(xo,y0)与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的位置关系： 2 2 (1)点P在椭圆上~xa2十gb2=1; 2 2 (2)点P在椭圆内部xa2+gb2<1; 2 (3)点P在椭圆外部-ra2十gb2>1. 二、直线与椭圆的位置关系 直线y=十m与椭圆x2a2十y2b2=1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立y=a十m, x2y2b2=1,消去y,得一个关于x的一元二次方程， 判定方法（利 位置关系 公共点个数 组成的方程组的解 用判别式) 相交 2 2解 0 相切 1 1解 4=0 相离 0 0解 小0 自学检测 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×” (1)直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，() (2)己知椭圆的焦点为F1,F2,且AB为过焦点F1的弦，则△ABF2的周长为4a.() 答案：(1)√(2)√ 2.若点P(a,1)在椭圆x22+y23=1的外部，则a的取值范围为() ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.(-3)3,3)3) B.(-∞，-3)3)U(3)3,+∞) C.(43,+∞) D.(-∞，-43) 答案：B 3.直线：x一y=0与椭圆x22+y2=1相交A,B两点，点C是椭圆上的动点，则△4BC 面积的最大值为) A.2B.2C.3 D.3 B解析：由趣意联立方程组x一y=0,x22)十y2=1, 解得x=/0r(63r(63),或x=-fr63r(63), 因为A,B两点在椭圆上关于原点对称，不妨取A(6)3,6)3),B(一6)3，一63)， 则AB=r(6r(6r(6r(63=3)3, 设过点C与AB平行的直线为y=x十c,则y=x十c与AB的距离即为点C到AB的距离， 也就是△ABC的边AB上的高， 当y=x十c与椭圆相切时，△ABC的边AB上的高最大，△ABC面积也最大， 联立y=x十c,x22)+y2=1,得3x2+4cx十2c2-2=0, 令判别式=16c2-24(c2-1)=0,解得c=±3， 此时y=x十c与1：x一y=0间的距离也即是△ABC的边AB上的高为3引r2)=6)2, 所以△4BC的最大面积为12×3)3×6)2=2， 4.过椭圆x2十2y2=4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB,则弦AB的长为 答案：167 课堂探究案 师生共研关键能力发展⑧ [对应学生用书P] 探究一直线与椭圆的位置关系 例①已知直线y=x十m与椭圆x216十29=1，当直线和椭圆相离、相切、相交时，分 别求m的取值范围. 解：由y=x十m,x2y29)=1,消去y,得 25x2+32x+16m2-144=0, ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ∴.4=(32m)2-4×25×(16m2-144)=9×43(25-m2 当0，即一5m<5时，直线和椭圆相交； 当4=0，即m=土5时，直线和椭圆相切： 当0，即m>5或m<一5时，直线和椭圆相离 综上所述，当m∈(-∞，一5)U(5,十)时，直线与椭圆相离： 当m=士5时，直线与椭圆相切： 当m∈（一5,5时，直线与椭圆相交 [方法总结]代数法判断直线与椭圆位置关系的四个步骤 第一步：确定直线与椭圆的方程： 第二步：联立直线方程与椭圆方程： 第三步：消元得出关于x(或)的一元二次方程： 第四步：当小0时，直线与椭圆相交：当4=0时，直线与椭圆相切：当0时，直线 与椭圆相离。 [训练1】直线y=a十1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆x25十y2m=1总有公共点，求m 的取值范围. 解：方法一直线y=a十1恒过定点(0,1) 直线与椭圆总有公共点等价于点(0,1)在椭圆内或椭圆上，所以025十1m≤1，即m≥ 1. 又由于m<5,故m∈[1,5)， 方法二由y=+1,x2y2m)=1,得(m+52)x2+10十51一m)=0, 则4=100k2-20(1-m)(m+5k2)≥0对k∈R恒成立， 即5mk2+m2-m≥0对k∈R恒成立. 因为m>0,所以52≥1一m对k∈R恒成立， 故1一m≤0，即m≥