3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 31.2椭圆的简单几何性质 第1课时椭圆的简单几何性质 课程内容标准 学科素养凝练 1掌握椭圆的简单几何性质. 通过学习椭圆的简单几何性质，形成数学抽 2.了解离心率对椭圆扁平程度的影响。 象、直观想象、逻辑推理以及数学运算的核 3.掌握椭圆标准方程中的a,b以及c,e的几 心素养 何意义，a,b,c,e之间的相互关系. 课前预习案 自主学习必备知识积聚© [对应学生用书P] 一、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 yt 图形 F B OF B:x B A 标准方程 x2a2+y2b2=1(a>b>0 y2a2+x2b2=1(a>b>0 范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤r≤b且-a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为愿点 4(-a,0,4(a,0),B0,-b), 40,-a),A0,a),B-b, 顶点 B2(0,bù 0,B2b,0 长轴长4142=24，短轴长BB=2边：a和b分别叫作长半轴长和 轴长 短半轴长 焦点 E-c,0),F(c,0) E0,-c),F0,c 焦距 FF=2c 三、椭圆的离心率 (1)定义：半焦距与长半轴长的比e=ca称为椭圆的离心率. ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (②)性质： ①当ca的值逐渐变小时，由b2=a2一c2知短轴长2b逐渐增大，因此椭圆会越来越圆. 当c=0,即a=b时，椭圆的两个焦点重合，此时椭圆变为半径为a的圆，它的方程为 x2+y2=a2 当ca的值逐渐变大时，由b2=a2一c2知短轴长2b逐渐减小，因此椭圆会越来越扁. ②形象记忆：0<e<1,e越趋向于1越扁，e越趋向于0越圆， 。自学检测% 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×” (1)x2a2+y2b2=1(a>b>0)与y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距相等.() (2)对椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有-a≤x≤a,-b≤y≤b.() (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.() (4)椭圆是轴对称图形，但不是中心对称图形.() (⑤)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点P,),则当x=0时，OP有最小值b, 点P在短轴端点处；当x=士a时，|OP有最大值a,点P在长轴端点处.() 答案：(1)√(2)√(3)×(4×（⑤√ 2.已知椭圆E:x2m+y210=1(m>10)的离心率为33，则椭圆E的长轴长为() A.15 B.25 C.215 D.45 答案：C 3.己知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴 三等分，则该椭圆的标准方程是() A.x281+y272=1 B.x281+y29=1 C.x281十y245=1 D.x281+y236=1 答案：A 4.椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的 倍。 答案：2 课堂探究案 师生共研关健能力发展⑧ ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [对应学生用书P] 探究一由椭圆的方程研究其几何性质 例1①求椭圆9x2+25y2=225的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点 法画出这个椭圆。 解：将椭圆的方程化为标准形式为x225+y29=1,得a=5,b=3,则c=25-9=4 因此，长轴长2a=10,短轴长2b=6,离心率e=ca=45=0.8 焦点坐标为F1(一4,0)和F24,0),顶点坐标为A1(一5,0)，A(5,0),B1(0,一3)，B2 (0,3). 将方程变形为y=士3525一x2(-5≤x≤5)， 根据y=3525一x20≤x≤5)可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标x, y),列表如下： 0 1 2 3 3 2.94 2.75 2.4 18 0 先描点画出第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆， 0 [方法总结]确定椭圆几何性质的四个步骤 (1)化标准：把椭圆方程化成标准形式 (②)定位置：根据标准方程分母大小确定焦点位置. (3)求参数：写出a,b的值，并求出c的值. (4④写性质：按要求写出椭圆的简单几何性质。 [训练1]求椭圆mx2+4my2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心 率。 解：椭圆方程m2x2+4m2y2=1(m0)可转化为x21m2+y214m2=1. m2<4m2,∴.1m2>14m2, ∴.椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a=Im,短半轴长b=I2m