1.3.1 等比数列及其通项公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.3等比数列 1.3.1 等比数列及其通项公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解等比数列的定义，掌握等比数列的判 1,通过等比数列概念、等比中项的学习培养 定方法。 数学抽象的核心素养， 2.掌握等比数列的通项公式及其应用 2,借助于等比数列通项公式及其性质的学习 3。理解等比中项及其应用. 提升逻辑推理、数学运算的核心素养 4.理解等比数列的性质及应用. 课前预习案 自主学习必备知识积累 [对应学生用书P] 一、等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那 么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 二、等比数列的通项公式 一般地，如果数列{an}的首项为a1,公比是q,那么等比数列{a}的通项公式为a a19-1 三、等比中项 在两个数a、b之间插入数G,使a,G,b成等比数列，则称G为a,b的等比中项. 表达式：G2=a边，即G=±b 自学检测 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×” (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比为常数，则该数列为等比数列. () (②)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.() (3)常数列一定为等比数列.() (4)任何两个数都有等比中项.() 答案：(1)×(2)×(3)×(4)× 2.下列数列中，成等比数列的是() ①-1，-2，-4，-8，；②1，-3,3，-33，…；③x,x,x,x,…；④1a,1a2, ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1a3,1a4, A.①②③ B.①② C.①②④ D.①②③④ 答案：C 3.(教材习题改编)已知数列{a}为等比数列，若a1=3,as=12,则公比q=() A.2)2B.±2)2 C.2D.±2 答案：D 2 4.等比数列{an}中，若a2a6十a4=r,则a3a5等于() A.4 B,3 C.x2 D.4π3 答案：C 5.7+35与7-35的等比中项是 答案：2或-2 课堂探究案 师生共研关键能力发展 [对应学生用书P] 探究一等比数列的概念 命题角度1等比数列的判定 例①判断下列数列是否为等比数列. (1)1,3,32,33,…,3-1, (2)-1,1,2,4,8,…: (3)a2,a2,a3,…,d,… 解：(1)记数列为{am},显然a1=1,a2=3,,an=3-1,… ,aman-1=3n-13n一2=3(n≥2，n∈N+),.此数列为等比数列，且公比为3 (2)记数列为{an},显然a41=一1，a=1,a=2,, ,a2al=一1，a3a2=2,∴.a2al≠a3a2.∴.此数列不是等比数列 (3)当a=0时，数列为0,0,0，…，是常数列，不是等比数列： 当a≠0时，数列为al,a2,a3,,,a,…,显然此数列为等比数列，且公比为 a. 命题角度2根据递推公式判定与证明等比数列 例2已知数列{an}的前n项和为Sn=2十a,试判断{an}是否是等比数列. 解：an=Sn-Sn-1=2m+a-2-1-a=2r-1(n≥2) 当n≥2时，am十1am=2n2n-1=2: 当n=1时，am+1am=a2a1=22十a. ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 故当a=-1时，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列： 当a≠一1时，数列an}不是等比数列 [变式]将例题中的条件“S.=2n+a”变为“Sn=2一an”.求证数列{an}是等比数列. 证明：Sn=2一an,.S%+1=2-an+1 .a+1=S+1-S=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1 ∴am+1=12an.又，S1=2-a1,.a1=1≠0 又由an+1=12an知an≠0，∴.am十1am=12, ∴.数列{am}是首项为1，公比为12的等比数列. [方法总结] 1,判定等比数列，要抓住三个要点 ①从第2项起：②要判定每一项，不能有例外：③每一项与它的前一项的比是同一个常 数，且不能为0 2.判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{am}满足an十1an=q(q为常数且不为零)或anan一I=q(n≥2，q为常 数且不为零)，则数列an}是等比数列. 2 (2)等比中项法：对于数列{an},若an+1=aan+z且an≠0，则数列{an}是等比数列 (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an=aq-(a≠0,9≠0)，则数列{a.