3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课后巩固 [对应学生用书P1] A级基础巩固练 1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b≥0)与椭圆x225+y216=1有相同的长轴，椭圆x2a2+ y2b2=1(a>b>0)的短轴长与y221+x29=1的短轴长相等，则() A.a2=15,b2=16 B.a2=9,b2=25 C.a2=25,b2=9 D.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25 C解析：由题意，得椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上，且a2=25,b2=9 2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(>b>0)的离心率为I2,且椭圆C的长轴长与焦距之和 为6，则椭圆C的标准方程为() A.4225+y26=1 B.x24+y22=1 C.x22+y2=1 D.x24+23=1 D解析：依题意得ca=12,2a+2c=6,解得a=2,c=1,则b=3,所以椭圆C的标 准方程为x24十y23=1 3.设椭圆的两个焦点分别为F,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△FPF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为() A.2)2B.2)-12C.2-2 D.2-1 D解析：由已知PFz=2c,∴.PF=22c.由椭圆的定义知PF1+PF2=2a,即22c+2c =2a,∴.e=ca=1r2)+1=2-1 4.(多选题)已知椭圆C:x2m一1+y2m2一2=1的一个焦点坐标为(0,1)，则下列结论正 确的是() A.n=2 B.椭圆C的长轴长为22 C.椭圆C的短轴长为1 D.椭圆C的离心率为32 AB解析：由题意，a2=n2-2,b2=n-1,c=1, ·独家授权侵权必究： 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 .n2-2-0n-1)=1,即n2-n-2=n-2)n+1)=0, ,n=-1或n=2, 当n=-1时，a2=n2-2<0,b2=n-10不成立： 故n=2,A正确；此时a2=2,b2=1, 故长轴长2a=22,B正确：短轴长2b=2,C错误： 离心率e=ca=2)2,D错误. 5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点， 且AB⊥BF,则椭圆的离心率为() A.2)2B.3)2C.3)-12 D.5)-12 D解析：在Rt△ABF中，4B=a2+b2,BF=a,4F=a+c,由AB+BF2=| AF2,得a2+b2+a2=(a+c)2.将b2=a2-c2代入，得a2-ac-c2=0,即e2+e-1=0,解得 e=5)2.因为0<e<1,所以e=5)-12 6.设e是椭圆x24+y2k=1的离心率，且e∈(12,1)，则实数k的取值范围是() A.(0,3) B.(3,163) C.(0,3)U(163,+∞) D.0,2) C解析：当4时，c2=k-4,由条件知14k一4软<1，解得心163：当0<k4时，c2 =4-k,由条件知14<4一k4<1,解得0<k3 综上，k的取值范围是(0,3)U(163,+©) 7.已知椭圆C:x225+y216=1的左，右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点，若△ PFF2为直角三角形，则△PFF2的面积为 485解析：易知a=5,b=4,c=3,因为b>c,所以以F,F2为直径的圆在椭圆的内部， 即以FF2为直径的圆与椭圆没有交点， 所以要使△PFF2为直角三角形，则∠PFF2=π2或∠PFF1=π2 不妨设∠PFF1=π2，则P(c,b2a),即P3,16, 所以△PFF3的面积为12 FFPF2=12×6×165=485 8.已知椭圆x2a2十y2b2=1(a>b>0),焦点F(-c,0),F(c,0(c0),若过F1的直线 和圆x一12C)2十y2=c2相切，与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率 是 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 B 5)5解析：由题可知，4B=c,4F=|OF+1OA=c+c2=3c2,故AB4F1=23,因 为过F1的直线和圆c一12C)2+y2=c2相切，所以AB⊥BF1,又PF2⊥x轴，故△ABF1∽△ PFF1,即1PF2IPFl=23,设PF=2x,则PF=3x,F1F2=5x,故椭圆离心率e=ca=2c2a =F1F2IPF1川+1PF2=5x5x=5)5. 9.已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e=3)2,且过点P(2,3),求此椭 圆的标准方程. 解：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2十y2b2=1(a>b>0) 由题意得f(cr(32