24.1.3弧、弦、圆心角-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十四章 圆》 24.1圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点一 圆的旋转对称性 圆的旋转对称性 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称轴. 知识点二 圆的旋转对称性 ◆1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. ◆2、弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 【注意】 （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等． （2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”． 题型一 弧、弦、圆心角的概念 【例题1】（2023•荔湾区校级二模）下列语句中，正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③长度相等的两条弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解题技巧提炼 正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 【变式1-1】（2023•庐阳区一模）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE＝DE，则下列说法错误的是（　　） A． B．OE＝BE C．CA＝DA D．AB⊥CD 【变式1-2】（2022春•惠山区校级月考）下列说法正确的个数有（　　） ①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】（（2022秋•利津县期末）下列语句中不正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴； ④长度相等的两条弧是等弧． A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对 【变式1-4】（2022秋•凯里市校级期中） 如图，在⊙O中，，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④，正确的是 　 　（填序号）． 【变式1-5】如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，且∠AOB＝∠COD，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①AB＝CD；②OM＝ON；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二 利用弧、弦、圆心角求角度 【例题2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（　　） A．32° B．60° C．68° D．64° 解题技巧提炼 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键有时要利用直角三角形的性质等知识点． 【变式2-1】（2022秋•西湖区校级期中）在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数 为（　　） A．120° B．75° C．60° D．30° 【变式2-2】（2022秋•延边州期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝45°，则∠COD＝（　　） A．60° B．45° C．30° D．40° 【变式2-3】（2023•西陵区模拟）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．135° 【变式2-4】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是　 ． 【变式2-5】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数． 题型三 利用弧、弦、圆心角求弧的度数 【例题3】（2022秋•海州区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求、的度数． 解题技巧提炼 利用弧、弦、圆心角求弧的度数就是求弧所对的圆心角的度数，有时要利用等腰三角形的性质． 【变式3-1】如图，C是⊙O直径AB上一点，过C作弦DE，使CD＝CO，若所对圆心角度数为40°，则所对圆心角度数为（　　） A．40° B．80° C．90° D．120° 【变式3-2】如图，AB