1.4.1 第1课时(空间中点、直线和平面的向量表示) 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

33488476 435729003 605990 (》 女wu粉0一 E7062997SEL 6v6L乙9870/ 我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一 些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几 何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.本节 我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置 关系和度量问题 幼 第器课时 (空间中点、直线和平面的向量表示) 9171 882046 1469 19539216611 3548074462379 567351 2489122781 830 983 62 44065 65430 幼 一、探究新知 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和 平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量 解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面 幼 二、空间点的向量表示 思考 如何用向量表示空间中的一个点？ 如图，在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P就可以 用向量OP来表示，我们把向量OP称为 点P的位置向量. 三、空间直线的向量表示 思考 我们知道，空间中给定一个，点A和一个方向就能唯一确定一条 直线L.如何用向量表示直线？ 用向量表示直线L,就是要利用点A和直线的方向向量表示直线 上的任意一点. 如右图，a是直线的方向向量，在直线上取AB=a, 设P是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点 P在直线1上的充要条件是存在实数t,使得 AP=ta,即AP=tAB 进一步地，如右图，取定空间中的任意一点O,可以 得到点P在直线/上的充要条件是存在实数t,使 OP=0A+ta,即有0P=OA+tAB 这两个式子都称为空间直线的向量表示式 由此可知，空间任意直线由直线上一点及 你能证明这 直线的方向向量唯一确定. 个结论吗？ 四、空间中平面的向量表示 思考 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定 点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示 这个平面？ 我们知道，平面α可以由其内两条相交直线确定.如下图，设两条 直线相交于点O,它们的方向向量分别为和方P为平面α内任意一 点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x,y),使得 OP=xa+yb 这样，点0与向量a、b不仅可以确定平面α，还可以具体表示 出α内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用. 四、空间中平面的向量表示 进一步地，如下图，取定空间任意一点O,可以得到，空间 一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x、y,使 OP=OA+xAB+vAC 这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 你能证明这 个结论吗？ 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一 确定： 药 五、平面的法向量 我们知道，给定空间一点A和一条直线！，则过点A且垂直于直线 的平面是唯一一确定的.由此得到启发，我们可以利用点A和直线1 的方向向量来确定平面. 如下图，直线l⊥ā.取直线的方向向量，我们称向量a为 平面a的法向量. 给定一个点A和一个向量，那么过点A且以向量为法向量的 平面完全确定，可以表示为集合{PIa·APO} 如果另有一条直线mLa，在直线m上任 取bba 向量 有什么关系？ 六、典型例题 例1已知点A(1,-2,3)、B(2,1,-3). 求直线AB与坐标平面yOz的交点坐标