24.1 圆的有关性质-【高分突破系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 1 与圆有关的概念和性质 ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，如上图的圆记作； ② 弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦；如上图，线段是弦，线段是直径； ③ 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧；如上图，是优弧，是劣弧. ④ 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；如上图，是圆周角； ⑤ 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角；如上图，是圆周角； ⑥ 弦心距：圆心到弦的距离，如上图，线段是弦心距. 2 垂径定理及其推论 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图，若是直径，且，则，，. （2）推论 ① 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ② 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）延伸 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 是直径； 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三。 3 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 如图，若，则，. （2）推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 如图，若，，三个条件中两个成立，则另一条件成立. 4 圆周角定理及其推论 （1）定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 如图，. （2）推论 ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 如图1，若，则. ② 直径所对的圆周角是直角； 如图2，若是直径，则. ③ 圆内接四边形的对角互补. 如图3，是圆内接四边形，则，. 图1 图2 图3 【题型1】 圆有关的概念 【典题1】 有下列四种说法： ①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆． 其中，错误的说法有(　　) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【典题2】下图中∠ACB是圆心角的是(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1.已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是(　　) A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm 2.下列说法正确的是(　　) A．直径是圆中最长的弦，有4条 B．长度相等的弧是等弧 C．如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍 D．已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上 3.下列说法中，正确的是(　　) A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦 C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角 4.下列说法，其中正确的有(　　) ①过圆心的线段是直径 ②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形 ③大于半圆的弧叫做劣弧 ④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】 垂径定理 【典题1】 如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是(﹣4，﹣2)，则点N的坐标为(　　) A．(1，﹣2) B．(﹣1，﹣2) C．(﹣1.5，﹣2) D．(1.5，﹣2) 【典题2】如图，在⊙O中，AB、AD为弦，CD为直径，CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，BN与CD相交于Q． (1)求证：BQ＝BC； (2)若BQ＝5，CM＝3，求⊙O的半径． 【巩固练习】 1.如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则水深CD为(　　) A．3 B．2 C． D． 2.如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为(　　) A．3 B． C． D．4 3.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，∠COB＝52°，则∠DCO的度数为(　　) A．52° B．50° C．48° D．38° 4.在直径为10m圆柱形油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB＝6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了(　　) A．1m B．1m或7m C．2m D．2m或6m 5.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．已知AB＝8，CD＝2．则CE的长为(　　) A．8 B． C． D． 6.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测