12.3 角的平分线的性质（讲+练，五大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

12.3 角的平分线的性质 1. 会作一个角的平分线,能区别角的平分线与三角形的角平分线的异同点. 2. 掌握角的平分线的性质和判定,会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题. 3. 通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实. 知识点一 作已知角的平分线 1. 用尺规作已知角的平分线 已知:∠AOB.求:∠AOB的平分线. 作法:如图所示 (1)以点 0为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB 于点N (2)分别以点 M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧∠AOB的内部相交于点 C (3)画射线OC,射线OC即为所求. 2. 作图依据 构造，根据全等三角形的对应角相等,找到角的平分线. 注意： (1)画“射线 OC”不能叙述为“连接 OC”因为角的平分线是一条射线，而不是线段 (2)两弧的交点应在角的内部找,因为要作的是角的平分线 即学即练 阅读并填空． 已知：． 求作：的平分线． 作法：如图所示，    ①以点_________为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②分别以点_________，_________为圆心，大于_________的长为半径画弧，两弧在内部交于点； ③画射线_________． 射线即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是_________． 知识点二 角的平分线的性质 1. 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2. 书写格式 提示: (1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再通过证全等三角形得到相等线段; (2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段,常添加辅助线由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，即构造“角的平分线性质”的基本图形,得到相等的两条垂线段. 即学即练1（2023春·广东茂名·八年级统考期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接DE，则．其中正确的结论有 ．    即学即练2 （2023春·贵州遵义·八年级校联考期中）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 知识点三 证明几何命题的一般步骤 (1)明确命题中的已知和求证: (2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证; (3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，然后写出证明过程 即学即练1（2023春·四川达州·八年级校考期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（    ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 即学即练2 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P，过点P分别作的垂线，垂足分别是D，E，F． 求证：的平分线经过点P，且． 知识点四 角的平分线的判定 1. 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线2.书写格式 如图所示, 即学即练1（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，点B、C分别在的两边上，点D是内一点，，垂足分别为E、F，且．求证：点D在的平分线上． 题型一 利用角平分线的性质解决线段问题 例1 （2023春·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，中，，，是的平分线，于，若，则的周长等于 ．    举一反三1（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）在中，点在边的延长线上，的平分线与的平分线交于点，与交于点．    (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，连接，延长至点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求证：； 举一反三2 （2023春·上海浦东新区校考期末）如图，是的角平分线，为上任意一点，于，于．    (1)垂线段、是否相等？请说明理由； (2)如图，在中，是的角平分线，于，于，若，，求的值； (3)如图，在中，是的外角平分线，交的延长于点，当，时，求与的数量关系． 题型二 利用角平分线的性质证明角之间的关系 例2 （2023秋·北京海淀·八年级北京市师达中学校考开学考试）点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 举一反三1（2023秋·黑龙江双鸭山·八年级校联考开学考试）如图，已知于点于点，且，则 ．    举一反三2 （2023春·河南平顶山·八年级统考期中）在“图形与几何”的学习中，我们遇到这样一个题目：“如图，在四边形中，平分，，求证：．”结合学过的知识，可以分析