专题06 圆的方程8种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(苏教版2019选择性必修第一册)

专题06 圆的方程8种常见考法归类 1、圆的标准方程 （1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆， 定点称为圆心，定长称为圆的半径。 （2）确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． （3）几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 注意点： (1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上． 2、点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝PC＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 3、圆的一般方程的理解 （1）圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程． （2）圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为. （3）对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心， 以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 4、圆的轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． （1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． （2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． （3）求轨迹方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程； ③把方程化为最简形式； ④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； ⑤作答． 5、直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 6、圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 注：方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径 7、应用待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 注：一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件． 8、判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 9、与圆有关的对称性问题 （1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称 （2）圆关于点对称： ①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点 （3）圆关于直线对称： ①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线 10、定点到圆上点的最值（范围） 可采用几何法，先求出