专题24.8 一元二次方程的应用（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（冀教版）

专题24.8 一元二次方程的应用（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 　　审：(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　设：(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　列：(根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　解：(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验：（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 　　 　答：(写出答案，切忌答非所问). 【知识点2】建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤 其主要考点类型有以下几种 1.增长率问题 　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降 低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 　　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 　　平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 2.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字 只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 　　　　　 100c+10b+a. 　 (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 　　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 3.利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数　　 4.形积问题及几何图形问题 　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 【考点一】增长率问题✭★握手问题✭★传播问题 【例1】据统计，目前某市基站的数量约万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到万座． (1) 计划到2023年底，全市基站的数量是多少万座？ (2) 求2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率． 【答案】(1) 计划到2023年底，全市5G基站的数量是6万座.；(2)2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为 【分析】（1）按照条件计算即可；（2）设出未知数，按题目要求列出算式，得出结果检验． （1）解：（万座）， 答：计划到2023年底，全市基站的数量是6万座. （2）解：设2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率为x， 依题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为； 【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数． 【答案】每轮每人传染的人数为7人 【分析】设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有人被感染，第二轮中有人被感染，根据“开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有人被感染，第二轮中有人被感染， 根据题意得：， 即， 解得：， (不符合题意，舍去)． 答：每轮每人传染的人数为7人． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2】为了陶冶情操开发智力丰富课余生活，市实验校成立了课外“象棋特长班”．开班仪式上，班内同学一一握手自我介绍(即每位同学都和班内其他同学握手)．老师对握手次数做了统计，全班共握手105次，问：该象棋班共有多少名学生？ 【答案】这次参加开班仪式的有15人． 【分析】根据题意设这次参加开班仪式的同学有x人，则每人应握(x﹣1