1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（模型与方法、练习）——-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

►第一章 空间向量与立体几何 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 ■重点01 直线的方向向量 解法揭秘 方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量． 【例题】若A（0，1，2），B（2，5，8）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） A．（3，2，1） B．（1，3，2） C．（2，1，3） D．（1，2，3） 【答案】D 【分析】利用直线的方向向量直接求解． 【解答】解：A（0，1，2），B（2，5，8）在直线l上， 则直线l的一个方向向量为：（2，4，6）＝（1，2，3）， 故选：D． 闯关演练 【闯关01】已知点P（0，1，0），Q（﹣2，0，1），则直线PQ的一个方向向量可以为（　　） A．（﹣2,﹣1,﹣1） B．（1,﹣2,1） C．（4,2,﹣2） D．（4,﹣2,2） 【闯关02】若A（﹣1，0，2），B（1，4，10）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） A．（1，2，4） B．（1，4，2） C．（2，1，4） D．（4，2，1） 【闯关03】直线l1的方向向量（1，0，﹣1），直线l2的方向向量（﹣2，0，2），则直线l1与l2的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不能确定 【闯关04】（多选）已知直线l1、l2的方向向量分别是，若，且l1⊥l2，则x﹣y的值可以是（　　） A．﹣3 B．7 C．1 D．﹣5 【闯关05】已知A（1，2，﹣2），B（3，2，1）在直线l上，写出直线l的一个方向向量：　 　． ■重点02 平面的法向量 解法揭秘 法向量的求法： （1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）． （2）列：根据，，列出方程组． （3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量． （4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标． 【例题】如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在棱C1C上，且CM＝2MC1．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面MD1B的一个法向量． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用求解平面的法向量的方法进行求解即可． 【解答】解：因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，CM＝2MC1， 所以M（0，3，2），B（3，3，0），D1（0，0，3）， 则，， 设是平面MD1B的法向量，则，， 所以，取z＝3，则x＝2，y＝1，故， 于是是平面MBD1的一个法向量（答案不唯一）． 闯关演练 【闯关01】已知，分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是（　　） A．（1，0，0） B．（0，1，0） C．（0，0，1） D．（1，1，1） 【闯关02】（多选）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱B1C1，B1B的中点，则下列结论正确的为（　　） A． B． C． D．为平面ACD1的一个法向量 【闯关03】（多选）已知，是平面α内的两个向量，则平面α的一个法向量可以是（　　） A．（﹣2，3，1） B．（﹣2，﹣3，1） C．（2，﹣3，﹣1） D．（1，3，﹣2） 【闯关04】若，，是平面α内的三点，设平面α的法向量，则x：y：z＝　 　． 【闯关05】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量． ■难点01 空间中直线、平面的平行问题 解法揭秘 1．线线平行:若分别为直线的方向向量,则使得． 2．线面平行:设直线的方向向量,是平面的法向量,，则． 3．面面平行:设分别是平面的法向量，则，使得． 【例题】若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项是否满足，即可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l的方向向量为，平面α的法向量为，要使l∥α，则， 对于A，，不符合题意；对于B，，符合题意； 对于C，，不符合题意；对于D．，，不符合题意． 故选：B． 闯关演练 【闯关01】已知l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为，则m＝（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣8 D．8 【闯关02】若直线l的方向向量为（1，0，2），平面α的法向量为（﹣2，1，1），则（　　） A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α或l∥α D．l与α斜交 【闯关03】（多选）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，能使l∥α的是（　　） A．（1，