1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（模型与方法、练习）-2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 一、选择题（共7小题） 1．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（1，2，3），且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（　　） A． B． C． D． 2．若单位向量与向量的夹角等于，则mn＝（　　） A． B． C． D． 3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是，，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（　　） A． B． C． D． 4．已知，，且，则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 5．已知空间四点A（﹣1，0，1），B（0，0，1），C（2，2，2），D（0，0，3），则（　　） A． B． C． D． 6．向量，若，则实数x＝（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 7．如图，ABCD﹣EFGH是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A． B． C． D． 二、多选题（共1小题） 8．已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则下列结论正确的有（　　） A．与是共线向量 B．与共线的单位向量是（1，1，0） C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5） 三、填空题（共4小题） 9．已知，，则向量与的夹角为　 　． 10．点A（2，1，1）是直线l上一点，（1，0，0）是直线l的一个方向向量，则点P（1，2，0）到直线l的距离是　 　． 11．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的一个法向量（﹣1，0，1），则两平面间的距离是　 　． 12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为4，∠ABC＝60°，PO⊥平面ABCD，异面直线BP与CD所成的角为60°，若E为线段OC的中点，则点E到直线BP的距离为　 　． 四、解答题（共8小题） 13．已知空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1）． （Ⅰ）若∥，求； （Ⅱ）若⊥，求cos，的值． 14．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点． （1）求cos，的值； （2）求证：A1B⊥C1M． 15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，且AB⊥BC，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点． （1）证明：BF⊥DE； （2）在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由． 16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝3，点E满足，点F为棱PA与平面CDE的交点． （1）证明：AB∥EF； （2）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值． 17．已知四棱锥M﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，MD⊥底面ABCD，且MD＝DC＝AD＝2AB＝2，P是MC的中点． （1）证明：BP∥平面MAD； （2）求直线MB与平面DBP所成角的正弦值． 18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AA1＝2，D为AB的中点． （1）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值； （2）在棱A1B1上是否存在一点M，使得平面C1AM∥平面B1CD． 19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点． （Ⅰ）若B1C1⊥平面CEC1，求二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值； （Ⅱ）在线段C1E上是否存在一点M，使得直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，若存在，求EM：MC1的值，若不存在，说明理由． 20．如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，点D、E、F分别是A1B1、CC1、BC的中点． （1）求异面直线AE与DF所成的角的大小； （2）求点A到平面DEF的距离； （3）在棱AA1上是否存在一点M，使得直线ME与平面DEF所成的角的大小是45°？若存在，请指出点M的位置，若不存在，请说明理由． 参考答案 一、选择题（共7小题） 1．【答案】A 【解答】解：∵两平行平面α，β分别经过原点O和A（1，2，3），所以（1，2，3）， 因为两平面的一个法向量，所以两平面间的距离． 故选：A． 2．【答案】A 【解答】解：∵单位向量（m，n，0）与向量（1，1，1）的夹角等于， ∴cos，且1， 即m2+n2＝1，2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝（）2﹣1， 即mn， 故选：A． 3．【答案】D 【解答