专题13.6 全等三角形几何模型（倍长中线）（分层练习）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（冀教版）

专题13.6 全等三角形几何模型（倍长中线）（分层练习） 全等三角形的对应边相等,对应角相等是证线段相等或角相等的重要依据,在解题过程中若不能直接运用,则需要通过作辅助线来构造全等三角形，若已知条件中存在中线,可将中线延长,将要求解或证明的结论进行转化,进而解决问题。 1．仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD为△ABC的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC的取值范围. 解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE. 因为AD为△ABC的中线， 所以BD=CD． 在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________). 所以BE=AC(_____________________). 因为AB+BE>AE(_____________________)， 所以AB+AC>AE. 因为AE=2AD=8cm， 所以AB+AC>_______cm. 2．如图，在中，， (1) 求边的长的取值范围？ (2) 若是的中线，求取值范围？ 3．如图，是的中线，，，求中线的取值范围． 4．佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1) 为什么？写出推理过程； (2) 求出的取值范围； (3) 如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 5．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题： (1) 求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形． (2) “取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ① 请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD； ② 求证：AC＝2OP． 6．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程． (1) 求证：△ABD≌△ECD 证明：延长AD到点E，使DE＝AD 在△ABD和△ECD中 ∵AD＝ED（已作） ∠ADB＝∠EDC（ ） CD＝ （中点定义） ∴△ABD≌△ECD（ ） (2) 由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ； (3) 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如下图，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长． 7．如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明． 8．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式． (1) 求a，b的值； (2) △ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围． 9．（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．    解决此问题可以用如下方法： 延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”． （2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．    10．如图，在中，为边上的中线．   (1) 按要求作图：延长到点E，使；连接． (2) 求证：． (3) 求证：． (4) 若，，求的取值范围． 11．“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，是的中线，延长到，使，连接，构造出和．求证：．    12．如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围． 13．如图，在中， 是边上的中线．延长到点，使，连接． (1) 求证：； (2) 与的数量关系是：____________，位置关系是：____________； (3) 若，猜想与的数量关系，并加以证明． 14．数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题： 如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到M，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利