精品解析：上海市交通大学附属中学2024届高三上学期开学考数学试题

交大附中2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，则__． 2. 的平方根为________ 3. 已知向量与的夹角为，，，则________________. 4. 设F1和F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足,则的面积为__________; 5. 记为等差数列前n项和，已知，，则______ 6. 若，则___________. 7. 直线是曲线的切线，则的最小值为__________． 8. 各项为正且公差不为0的等差数列的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列的连续三项（顺序不变），设，若对于一切的，，则的最小值为__________． 9. 设函数，则使得成立的实数x的取值范围是________. 10. 在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________． 11. 三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____. 12. 设a，b是两个实数，，直线和圆交于两点A，B，若对于任意的，均存在正数m，使得的面积均不小于，则的最大值为__________． 二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分） 13. 已知是实数，命题；命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 下列说法正确的是（ ） A. 如果直线l不平行于平面α，那么平面α内不存在与l平行的直线 B. 如果直线//平面α，平面//平面β，那么直线//平面β C. 如果直线l与平面α相交，平面//平面β，那么直线l与平面β也相交 D. 如果平面平面γ，平面平面γ，那么平面//平面β 15. 设是定义在R上的函数，若存在两个不等实数，，使得，则称函数具有性质P，那么下列函数：①；②；③；具有性质P的函数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示： 党史学习时间（小时） 7 8 9 10 11 党员人数 6 10 9 8 7 则该单位党员一周学习党史时间众数及第40百分位数分别是（ ） A 8，8.5 B. 8，8 C. 9，8 D. 8，9 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别为棱的中点，，平面平面.求证： （1）平面； （2）平面． 18. 已知数列的前n项和为，数列满足，． （1）证明是等差数列； （2）是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由． 19. 如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角，总造价为W元． （1）试将W表示为的函数，并写出的取值范围； （2）问当AM的长为多少时，能使总造价W最小． 20. 已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围； （Ⅲ）设，，求的取值范围. 21. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，讨论的单调性； （3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 交大附中2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，则__． 【答案】 【解析】 【分析】进行并集的运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 2. 的平方根为________ 【答案】 【解析】 【分析】先设复数，可得，再结合复数相等的充要条件求解即可. 【详解】解：设所求复数为，由题意有，即， 则，解得或，即或， 即平方根为， 故答案为. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数相等的性质，属基础题. 3. 已知向量与的夹角为，