一元二次不等式 讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

一元二次不等式 【建议课时】2 【学习目标】 1. 结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数； 2. 根据函数图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 【知识点梳理】 1. 一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中均为常数，． 2. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 （以，即函数开口向上的情况为例） 判别式： 的图象 的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 的解集 的解集 注：在不等式中，如果二次项系数，则可先根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解． 3. 求解一元二次不等式的步骤（以，即函数开口向上的情况为例） ( 将原不等式化成 的形式 计算 的值 方程 有两个不相等的实数根，解得 方程 有两个相等的实数根，解得 方程 没有实数根 原不等式的解集为 原不等式的解集为 原不等式的解集为 ) 4. 解分式不等式的转化思路 (1) ； (2) ； (3) （1）或（2）． 【知识点点睛】 1. 一元二次不等式恒成立的条件： 显然．恒成立的条件是； 恒成立的条件是． 2. 根的分布问题一定要注意数形结合，一定要画图理解，找各特殊点的正负来判断根的情况． 3. 在给定区间上的恒成立问题，分离参数法是较佳的选择． （分离参数法：将参数放在一边，另外一边只含自变量） 例如：若存在实数，使成立，则的取值范围是多少？ 解：，设，，当时，又使成立，即，因此． 4. 对于不等式任意或存在性问题，一般转化为对应函数最值大小关系，即 (1) (2) (3) (4) 【题型精讲】 题型一　 一元二次不等式的求解 【例1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式化简集合，利用并集的定义求解即可． 【详解】集合， 则 故选：A 【点评】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 【变式训练1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用列举法表示出集合，再求解出不等式的解集为集合，即可计算出的结果． 【详解】因为集合，， 所以，， 故选：A． 【点评】本题考查集合的交集和并集运算，难度较易． 【变式训练2】（1）解关于的不等式 （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）不等式等价于，分四种情况讨论求不等式的解集；（2）不等式转化为，恒成立，通过设函数，由恒成立思想建立不等式求的取值范围． 【详解】（1）不等式化简为， 当时，不等式等价于， 当时，即时，不等式的解集是或， 当时，即时，不等式的解集是， 当时，即时，不等式的解集是或， 当时，不等式等价于，不等式的解集是． 综上可知：时，不等式的解集是或，时，不等式的解集是，时，不等式的解集是或，当时，不等式的解集是． （2）不等式整理为，恒成立， 设， 可得： ，即 （1）解得：，（2）解得：或 ， 所以不等式的解集是 【点评】本题考查含参不等式的解法，不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的思想和构造法，逻辑推理和计算能力，属于中档题型． 题型二　 含参一元二次不等式的求解 【例2】若不等式对实数恒成立，则实数的取值范围（ ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】对m分m≠0和m=0两种情况讨论分析得解． 【详解】由题得时，x＜0，与已知不符，所以m≠0． 当m≠0时，， 所以． 综合得m的取值范围为． 故选C 【点评】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力． 【变式训练1】若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式在内有解等价于在内有解， 等价于，再根据二次函数的性质即可求出结果． 【详解】原不等式在内有解等价于在内有解， 设函数， 所以原问题等价于 又当时，， 所以． 故选：A． 【点评】本题主要考查一元二次不等式的应用，考查函数与方程思想和等价化归与转化思想．属于基础题． 【变式训练2】已知函数，若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围为_____． 【答案】 【分析】问题转化为，解一元二次不等式组，即可求出结果． 【详解】函数，若对于任意，都有成立， 只需满足：即可， 整理得：， 解得，即． 故m的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于中档题． 【变式训练3】已知函数． （1）若时，对任意的都成立，求实数的取值范围； （2）