基本不等式 讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本不等式 【建议课时】3 【学习目标】 1. 掌握基本不等式，并且用其推导其它不等式； 2. 掌握基本不等式求解最值问题的方法，能利用它分析一些实际问题． 【知识点梳理】 1．基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：； (2)等号成立的条件：当且仅当时取等号． 注：其中为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)； (2)； (3) ； (4) （均值不等式）； 调和平均数： 几何平均数： 算术平均数： 平方平均数： 注：以上不等式等号成立的条件均当且仅当． (5)（当且仅当时取“”）． 3．利用基本不等式求最值 已知，则 (1)如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值． (简记：积定和最小) (2)如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值． (简记：和定积最大) 【知识点点睛】 1. 运用基本不等式求最值，首先要保证都是非负数，其次要保证能取到等号，即若两个正数的和是定值，积的最大值在两者相等时取到；两个正数的积是定值，和的最小值在两者相等时取到． 而形如的变式则对的正负没有要求． 2. 题目中的式子通常需要进行配凑、换元等处理，使得式子中的某几项具备和为定值或积为定值的特征．这个步骤有一定的技巧性，需要仔细观察式子中各项的特征，对可能的变式有一个基本的判断． 3. ．这个函数在时的最值可以通过得到，即时，有．这个函数称作对勾函数，在后面函数与导数知识点部分十分常见，它在时的图象如图所示，的部分我们可以通过奇函数求得． 4. 利用基本不等式求最值注意事项 （1）若求最值的过程中多次使用基本不等式，则基本不等式等号成立的条件必须能够同时成立（即彼此不冲突）； （2）若涉及的变量有初始范围要求，则使用基本不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围． 【题型精讲】 题型一　基本不等式的理解及其变式 【例1】设a，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；由，而，可得C错；利用基本不等式可得D正确． 【详解】，，故A错； ，，即，可得，，故B错； ，，而，则，故C错； ，，，等号取不到，故D正确； 故选：D 【变式训练1】若函数在处取最小值，则等于（ ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用配凑法和基本不等式求函数的最小值，可得出取等条件，求出值． 【详解】函数 当且仅当即时取到等号，则 故选：A 【点评】本题考查基本不等式的应用，考查基本不等式求最值时的取等条件，考查学生计算能力，属于基础题． 题型二　积定和最小、和定积最大 【例2】已知，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由，得，则，利用基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值为5， 故选：C． 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 【变式训练1】若，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】化简函数，利用基本不等式求出最值，并验证取等条件． 【详解】， 当且仅当，即时取等号 则的最大值为 故选：C 【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于中档题． 题型三　“”的代换 【例3】已知正数满足，求的最小值． 【答案】令，，则，求的最小值． ． 【变式训练1】若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】先根据条件求解出，然后根据不等式有解得到，由此求解出的取值范围． 【详解】因为， 取等号时，所以， 因为不等式有解，所以， 所以或， 故选：B． 【点评】本题考查利用基本不等式求解不等式有解问题，对学生的转化与计算能力要求较高，难度一般．运用基本不等式时注意说明取等号的条件． 【变式训练2】已知实数满足，求的最小值． 【答案】令，，则，求的最小值 ． 【变式训练3】已知，，，求的最大值． 【答案】令，则 ， 注：本题观察到所求与的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系， 即， 代入方程中可得：， 解得：，所以最大值为4． 【变式训练4】已知，，，求的最大值． 【答案】令，则 ，． 【变式训练5】设实数、满足，且．则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，分别讨论，两种情况，结合基本不等式分别进行求解后比较可得的最小值． 【详解】由题意可知，． 当时，， 当且仅当且，即，时取等号， 当时，， 当且仅