不等关系与不等式性质 讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

不等关系与不等式性质 【建议课时】1 【学习目标】 1. 理解不等式的概念,能用不等式表示不等关系; 2. 梳理等式的性质,掌握不等式的性质. 【知识点梳理】 1. 不等关系 不等关系 大于 小于 不大于 不小于 不等于 符号表示 2. 两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 3. 等式与不等式的基本性质 性质 等式 不等式 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 可开方性 4. 分式不等式的解法 (1); (2). 5. 绝对值不等式的解法 (1); (2); (3); (4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法脱去绝对值符号求解,也可以用图象法求解. 【知识点点睛】 1. 比较两实数的大小,只需确定它们的差与的大小关系,与差的具体数值无关.因此,比较两实数的大小,其关键在于经过适当变形,能够确认差的符号,变形的常用方法有配方、分解因式等. 2. 若,且与都不为,则与的大小关系确定吗? 解:不确定.若,,则,即若与同号,则分子相同,分母大的反而小;若,则,即正数大于负数.实际上,可以通过反比例函数直观地分析出结果. 3. 不等式性质的表格中,要注意箭头的方向.对称性和可加性是可逆推的. 其中,可加性:是我们处理不等式移项的依据; 利用同向可加性,可以对不等式进行适当放缩,常用于证明类的题目中;注意同向的不等式的乘法是不具有类似性质的,即由并不能得到, 除非对不等式中的项进行正负限制,才能进行讨论. 【题型精讲】 题型一 比较两个数(式)的大小 【例1】若,,,则与的大小关系为_. 【答案】 【分析】根据自变量的取值范围,利用作差法即可比较大小. 【详解】,,, 所以 当时, 所以, 即, 故答案为:. 【点评】本题考查了作差法比较整式的大小,属于基础题. 【变式训练1】若,,,则、的大小关系为( ) A. B. C. D.由的取值确定 【答案】A 【分析】考虑的大小后可得、的大小关系. 【详解】, , 因为,故,而,所以. 故选:A. 【点评】本题考查代数式的大小比较,对于带有根号的代数式的大小比较,可以平方后转化核心代数式的大小关系,本题属于基础题. 【变式训练2】比较大小:_. 【答案】 【分析】作差配方即可比较出大小. 【详解】解: . . 故答案为:. 【点评】本题考查了运用作差法,配方法,完全平方公式来比较数的大小,属于基础题. 【变式训练3】下列不等关系中,一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】对于A、B两边平方作差即可判断;直接作差即可判断C、D. 【详解】对于A, ,显然不成立,故A不正确; 对于B, ,显然不成立,故B不正确; 对于C,, 显然成立,故C正确; 对于D, ,因为,故D不正确; 故选:C 【点评】本题主要考查了分析法证明、作差法比较大小,注意不等式变形,属于基础题. 题型二 不等式的性质及应用 【例2】设、、且,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用特殊值法可判断B、D选项的正误,利用不等式的基本性质可判断A选项的正误,利用作差法可判断C选项的正误,进而可得出正确选项. 【详解】对于A选项,当时,,,A选项错误; 对于B选项,取,,则,B选项错误; 对于C选项,, ,则、中至少有一个不为零,所以,,则, 所以,,即,C选项正确; 对于D选项,取,,则,D选项错误. 故选:C. 【点评】本题考查代数式的大小比较,一般利用不等式的基本性质、作差(商)法、特殊值法来比较,考查推理能力,属于基础题. 【变式训练1】若,且,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用作差法可求得出,可得出,解该不等式即可得出结果. 【详解】,,,, 可得,解得. 故选:D. 【点评】本题考查利用作差法比较大小,同时也涉及了一元二次不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题. 【变式训练2】设实数,,满足,,则下列不等式中不成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据不等式的性质,对每个选项进行证明,对选项D,进行特值检验,即可. 【详解】选项A,要证,只需证即可. 由题意可知,则成立,则成立. 要证,只需证 由题意可知,则, 又因为,所以,则,即成立 故选项A成立,不符合题意. 选项B,要证,只需证即可. 由题意可知,则,成立. 所以成立,即. 要证,只需证,只需证 由题意可知,则,,,. 所以成立,即成立. 故选项B成立,不符合题意. 选项C,要证,只需证即可. 由题意可知则. 又因为,所以. 所以成立,即. 要证,只需证即可 由题意可知则. 又因为,所以. 所以成立,即成立. 故选项C成立,不符合题意. 选项D,令,,则 即,所以不成立,符合题意. 故选:D 【点