第9讲 直线与双曲线的位置关系-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第9讲 直线与双曲线的位置关系 1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上. (1)若点，，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积； (2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 2．（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）已知，为双曲线C的焦点，点在C上． (1)求C的方程； (2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，是否存在定点T，使得|QT|为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由. 3．（2023·海南海口·海南中学校考二模）已知过点的直线与双曲线：的左右两支分别交于、两点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设点，过点且与直线垂直的直线，与双曲线交于、两点.当直线变化时，恒为一定值，求点的轨迹方程. 4．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点. (1)设，求证：是定值； (2)求的取值范围. 5．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的左焦点为F，过点F作直线l交C的左支于A，B两点． (1)若，求l的方程； (2)若点，直线AP交直线于点Q．设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值． 6．（2023·山西忻州·统考一模）已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率为定值. 7．（2023·山东聊城·统考一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为60°，且上的点到的距离的最小值为1． (1)求的方程； (2)设点，，动直线：与的右支相交于不同两点，，且，过点作，为垂足，证明：动点在定圆上，并求该圆的方程． 8．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2. (1)求双曲线C的方程； (2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M， （i）求的值； （ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：. 9．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 (1)求的普通方程与的直角坐标方程； (2)求与交点的极坐标. 10．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为双曲线的左右焦点，是在第一象限内一点，直线，分别与交于异于的，两点． (1)若直线的斜率为，求的取值范围； (2)若的面积为，求的坐标． 11．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M，N两点，记，，的面积分别为S，，.当l与x轴垂直时，的值为. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若l交y轴于点P，，，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，若，当时，求实数m的取值范围. 12．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知双曲线（，）过，，，四个点中的三个点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，求证：直线经过一个不在双曲线上的定点，并求出该定点的坐标. 13．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的右焦点为是双曲线上一点. (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率大于0的直线与双曲线的右支交于两点，若平分，求直线的方程. 14．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为，过右焦点F作斜率为正的直线l交双曲线的右支于A，B两点，交两条渐近线于C，D两点，点A，C在第一象限，O为坐标原点． (1)求双曲线E的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求的取值范围． 15．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线. (1)若的坐标为，求证：为的角平分线； (2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值. 16．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 17．（2