第8讲 椭圆中的定点、定值-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第8讲 椭圆中的定点、定值 1．（2023春·河北石家庄·高二校考开学考试）已知椭圆 ，直线l：与椭圆交于两点，且点位于第一象限. (1)若点是椭圆的右顶点，当时，证明：直线和的斜率之积为定值； (2)当直线过椭圆的右焦点时，轴上是否存在定点，使点到直线 的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 2．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点，且以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆内切. (1)证明为定值，并求点P的轨迹的方程. (2)过点A的直线与轨迹交于另一点Q（异于点B），与直线交于一点G，∠QNB的角平分线与直线交于点H，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．（2023·全国·高三专题练习）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将由仿射变换得：，，则椭圆变为，直线的斜率与原斜率的关系为，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与相交于两点且，过椭圆外一点作椭圆的两条切线，且，切点分别为． (1)求证：点的轨迹方程为； (2)若原点到，的距离分别为，，延长表示距离，的两条直线，与椭圆交于两点，过作交于，试求：点所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数． 4．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)点在直线上，点关于轴的对称点为，直线分别交椭圆于两点（不同于点）.求证：直线过定点. 5．（2023春·四川眉山·高二校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)点，斜率为k的直线l不过点，且与椭圆交于A，B两点，(O为坐标原点).直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由. 6．（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点，椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2023·宁夏·六盘山高级中学校考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若△为等边三角形，且点在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的左、右顶点分别为，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标. 8．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知，为椭圆的左、右焦点，且A为椭圆上的一点. (1)求椭圆E的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点，射线，与椭圆E分别相交于M､N.试探究：是否存在数集D，对于任意时，总存在实数t，使得点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集D并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 9．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为、，短轴长为，点上的点满足直线、的斜率之积为． (1)求的方程； (2)若过点且不与轴垂直的直线与交于、两点，记直线、交于点．探究：点是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． 10．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆：内切于矩形，其中，与轴平行，直线，的斜率之积为，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上的点，满足直线，的斜率之积为，其中为坐标原点.若为线段的中点，则是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由. 11．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知离心率为的椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为，且的外接圆半径大小为． (1)求椭圆方程； (2)设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线、、、的斜率分别为、、、，若，求面积的取值范围． 12．（2023·江西南昌·统考模拟预测）已知，是椭圆的两个顶点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，，与直线交于点，求的值． 13．（2023·江苏盐城·校考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A在C上，当轴时，；当时，. (1)求C的方程； (2)已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线交于点Q，且点M，N在直线的两侧，点．若，是否存在到直线l的距离的P点？若存在，求t的值；若