第6讲 椭圆中的中点弦-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第6讲 椭圆中的中点弦 1．（2023·全国·高二专题练习）已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲线与曲线在第一象限的交点，且． (1)求曲线的标准方程； (2)直线与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围． 2．（2023春·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，直线与交于两点，且线段的中点为为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的标准方程； (2)已知直线与有两个不同的交点为轴上一点.是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由. 3．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知椭圆的离心率为e，且过，两点. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过有两条直线，，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是，的中点.试探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由. 4．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为. (1)若，，求k的值； (2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点，且，求直线l的方程. 5．（2023春·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知的右焦点为，过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，设直线与直线的斜率分别为，． （1）求的值； （2）设直线交直线于点，证明． 6．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线T：和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点． (1)若F恰是椭圆C的焦点，求的值； (2)若，且恰好被平分，求的面积． 7．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点为，过（M不过椭圆的顶点和中心）且斜率为k直线l交椭圆于两点，与y轴交于点N，且.    （1）若直线l过点，求的周长； （2）若直线l过点，求线段的中点R的轨迹方程； （3）求证：为定值，并求出此定值. 8．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在轴下方），且线段AB的中点E在直线上. （1）求直线AB的方程； （2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线于点M、N，证明：为定值. 9．（2022秋·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考阶段练习）已知椭圆C：（）的左，右焦点分别为，，上，下顶点分别为A，B，四边形的面积和周长分别为2和. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l：（）与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中垂线交y轴于M点，且为直角三角形，求直线l的方程. 10．（2022秋·高二校考课时练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，． (1)求的方程； (2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由． 11．（2022秋·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，P为椭圆上一点，且，． (1)求椭圆的离心率； (2)已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程． 12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由． 13．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线和椭圆交于两点，且的周长为． (1)求的方程； (2)设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围． 14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线的过定点，若椭圆上存在两点，关于直线对称，求直线斜率的取值范围． 15．（2022·福建福州·统考模拟预测）平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，为直线上一点，过作的垂线分别交的左、右支于、两点，交于点． (1)证明：直线平分线段； (2)若，求的值． 16．（2022秋·广东清远·高三校考阶段练习）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点M，且MN⊥PQ，求线段MN所在的直线方程． 17．（2022·江苏连云港·江苏省赣榆高级中学校考