第5讲 直线与椭圆的位置关系-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第5讲 直线与椭圆的位置关系 1．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的上下顶点，，点在椭圆上，为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于轴上方两点，．若，试判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的焦点，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)若过点F的直线l与C交于A，B两点，过点F与l垂直的直线与C交于M，N两点，求的取值范围． 3．（2023·四川成都·统考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且与轴垂直． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为A，为坐标原点，过作斜率大于0直线交椭圆于、两点，直线与坐标轴不重合，若与的面积比为，求直线的方程． 4．（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点． ①证明：直线CD过椭圆右焦点； ②椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积． 5．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值． 6．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆过点和，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点斜率为的直线交椭圆于，直线分别交直线于点．若，求的值． 7．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）已知椭圆：，设过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，点为直线上不同于点A的任意一点. (1)若，求的取值范围； (2)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由. 8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点F为，过椭圆左顶点和上顶点的直线的斜率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若为平面上一点，C，D分别为椭圆的上、下顶点，直线NC，ND与椭圆的另一个交点分别为P，Q.试判断点F到直线PQ的距离是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由. 9．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 10．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，直线过点，当直线经过点时，直线与椭圆相切． (1)求椭圆的方程． (2)若直线与椭圆交于，（异于，）两点． （i）求直线与的斜率之积； （ii）若直线与的斜率之和为，求直线的方程． 11．（2023春·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期末）已知椭圆的离心率为，轴被抛物线截得的线段长与长轴长的比为. (1)求､的方程； (2)设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点､，直线､分别与相交与､. （i）设直线､的斜率分别为､，求的值； （ii）记､的面积分别是､，求的最小值. 12．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，过作直线与直线垂直且与直线交于． (1)当直线与轴垂直时，求内切圆半径； (2)分别记的斜率为，证明：成等差数列． 13．（2023·广东·高三专题练习）已知圆O的方程为，P为圆上动点，点F坐标为，连OP，FP．过点P作直线FP的垂线l，线段FP的中垂线交OP于点M，直线FM交l于点A． (1)求点A的轨迹方程； (2)记点A的轨迹为曲线C，过点作斜率不为0的直线n交曲线C于不同两点S，R，直线与直线n交于点H，记．，问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，P为C上任意一点（异于A，B），直线AP，BP分别交直线于M，N两点. (1)求证：； (2)设直线BM交椭圆C于另一点Q，求证：直线PQ恒过定点. 15．（2023·全国·高三专题练习）已知点A为椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于B，C两点． (1)记直线AB，AC的斜率分别为，试判断是否为定值?并说明理由； (2)直线AB，AC分别交直线于M，N两点，当时，求线段MN长度的取值范围． 16．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，，四边形的周长为． (1)求椭圆E的方程； (2)设斜率为k的直线l与x轴交于点P