第3讲 双曲线-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第3讲 双曲线 1．（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点. (1)求双曲线C的标准方程. (2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 2．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点. (1)求双曲线的方程. (2)若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 3．（2023春·山东聊城·高三统考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点． (1)求C的方程； (2)不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个． 4．（2023·广东揭阳·普宁市华侨中学校考二模）在平面直角坐标系中，已知，，，，点M满足，记M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，直线与C相交于两个不同的点A和B，在线段AB上取点Q，满足，直线交直线于点R，试问面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 5．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，双曲线C上一点关于原点的对称点为，满足. (1)求的方程； (2)直线与坐标轴不垂直，且不过点及点，设与交于、两点，点关于原点的对称点为，若，证明：直线的斜率为定值. 6．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且. (1)求的面积； (2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 7．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为. (1)求双曲线C的方程； (2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，点坐标为，且. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线与的左､右两支分别交于两点，若点在线段上，满足，证明：在定直线上. 9．（2023秋·江西萍乡·高二芦溪中学校考期末）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为.当时，. (1)求双曲线的方程； (2)若的外心为，求的取值范围. 10．（2023·山东滨州·校考模拟预测）已知双曲线（，）的左､右焦点分别为､，双曲线的右顶点在圆上，且. (1)求双曲线的标准方程； (2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点､，设为坐标原点. ①求证：点与点的横坐标的积为定值； ②求△周长的最小值. 11．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为F，点 分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于 两点，设直线的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)当点P在第一象限，且时，求直线l的方程. 12．（2023·广东茂名·统考二模）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为． (1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标． 13．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，右顶点为，点，，. (1)求双曲线的方程； (2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程. 14．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考三模）已知双曲线，点是双曲线的左顶点，点坐标为. (1)过点作的两条渐近线的平行线分别交双曲线于，两点.求直线的方程； (2)过点作直线与椭圆交于点，，直线，与双曲线的另一个交点分别是点，.试问：直线是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 15．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为．点在第一象限的双曲线上，过点作双曲线切线与直线交于点． (1)证明：； (2)已知斜率为的直线与双曲线左支交于 两点，若直线，的斜率互为相反数，求的面积． 16．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交