第2讲 椭圆-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第2讲 椭圆 1．（2023·天津·统考高考真题）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 2．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 3．（2023春·河南南阳·高三南阳中学校考开学考试）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值. 4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？ 5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为、、，且. (1)求椭圆的方程； (2)设过的直线交椭圆于P、Q两点，若直线、与直线l：分别交于M、N两点，l与x轴的交点为K，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由. 6．（2023秋·广东中山·高三校考阶段练习）设椭圆C：（）的左､右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点. 7．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）已知O坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为． (1)求椭圆C的方程； (2)过C的左焦点F作弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若，求面积的最大值． 8．（2023春·山东青岛·高二校考开学考试）已知椭圆的上､下焦点分别为，，左､右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形. (1)求C的标准方程. (2)M，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 9．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知椭圆的离心率为，其左焦点为． (1)求的方程； (2)如图，过的上顶点作动圆的切线分别交于两点，是否存在圆使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由． 10．（2023·全国·高二专题练习）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，． (1)求椭圆的方程． (2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由． 11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，三点中恰有两个点在椭圆上． (1)求椭圆C的方程； (2)若C的上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线EA，EB分别交直线于P，Q两点，求面积的最小值． 12．（2023·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值． 13．（2023春·江西宜春·高二江西省铜鼓中学校考阶段练习）已知椭圆过点，且离心率为 (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值. 14．（2023春·陕西商洛·高二校考期中）已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点. (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，求面积的最大值以及此时直线l的方程. 15．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，椭圆的上焦点为F，且C上的点到点的距离的最大值与最小值的差为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为1. (1)求的方程； (2)已知直线：）与交于,两点，与轴交于点，若点是线段靠近点的四等分点，求实数的取值范围． 16．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）平面直角坐标系内有一定点，定直线，设动点P到定直线的距离为d，且满足． (1)求动点P的轨迹方程； (2)直线过定点Q，与动点P的轨迹交于不同的两点M，N，动点P的轨迹与y的负半轴交于A点，直线分别交直线于点H、K，若，求k的取值范