4.1数列的概念讲义-2024届高三数学一轮复习

数列的概念 知识精讲 1. 数列：按 排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项，序号为的项叫第项，也叫通项，记作；数列一般简记作 2. 数列分类：①按数列项数是有限还是无限分： 数列， 数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列， 数列， 数列， 数列 3. 从函数观点看，数列实质上是定义域为 的函数，其图象是 。 4. 通项公式：如果数列 可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式 5. 递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 6.数列的前项和： 题型分类练习 题型一：数列的增减性、单调性 1．已知数列，．若该数列是递减数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 3．数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 4．数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 5．已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（    ） A．10 B．9 C．8 D．4 题型二：由数列的递推关系求通项 1．已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，且，则 ． 3．数列满足，且， ． 4．数列满足，且， ． 题型三：累加法累乘法求通项 1．数列满足，对，都有，则（    ） A． B． C． D． 2．已知 ， 则 （    ） A．506 B．1011 C．2022 D．4044 3．已知数列满足，且对于任意都有，则 ． 4．已知数列的前n项和为，且满足通项公式，则 ． 题型四：利用和的关系求通项公式 1．已知数列的前n项和，，则k的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．在数列中，，且，则数列的前10项和 ． 3．数列的前项和为，，则通项公式 ． 4．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 5．已知数列的前的前n项和为，数列的的前n项和为，则满足的最小n的值为 ． 题型五：数列综合题 1．已知正项数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 2．已知正项数列的前项和为，且和满足：． （1）求的通项公式； （2）设，求的前项和； （3）在（2）的条件下，对任意，都成立，求整数的最大值． 3．已知数列的前项和为正整数）． （1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）令，求. 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且点（n，Sn）在函数y＝2x+1﹣2的图象上． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足：b1＝0，bn+1+bn＝an，求数列{bn}的前n项和公式； （3）在第（2）问的条件下，若对于任意的n∈N*不等式bn＜λbn+1恒成立，求实数λ的取值范围． 参考答案： 题型一 1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 题型二 1．A 2． 3．6 4．15 题型三 1．D 2．D 3． 4． 题型四 1．C 2．35. 3． 4． 5．9 题型五 1 ．【详解】（1）由已知， 即． 又，故，即（且）． 所以，当时， 当时，． 所以． （2）当时，． ． 法二：． . 2 ．【详解】（1）∵，① ∴，② ①-②得． ∴，化简． ∵，∴． ∴是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴． （2）． ∴ ． (3)由(2)知， ． ∴数列是递增数列，则， ∴，解得， ∴整数的最大值是7． 3．【详解】解：（1）由题意，可知： 在中， 当时，可得，即． 当时，， ， ，即， 由题意，， ，即当时，． 又， 数列是首项和公差均为1的等差数列． ， ． （2）由（1）得， ， 两式相减，得：， ． 4．【详解】由题意可知，． 当时，， 当时，也满足上式， 所以． 由可知，即． 当时，，① 当时，，所以，② 当时，，③ 当时，，所以，④ 当时为偶数），，所以 以上个式子相加，得 ，又