上海市育才中学2024届高三上学期第一次调研检测数学试题

上海市育才中学高三数学第一次调研检测试题 2023.9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1-6题每个空格填对每题得4分，7-12题每个空格填对每题得5分，否则一律得零分。 1．若集合，集合，且，则a的取值范围为________． 2．若复数是纯虚数，则实数a的值为________． 3．已知向量，，且，求实数k=__________． 4．若两个球的体积之比为8:27，则它们的表面积之比为________． 5．设无穷等比数列的公比，，则=____ 6．已知，则=________． 7．设函数在内可导，且，则=________． 8．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________． 9．函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为________． 10．数列中，，对任意正整数m,n，满足，若，则k=________． 11．若实数x、y满足，则xy的最小值为________． 12．设函数（a>0）在区间（t>0）上的最大值是，若，则实数t的最大值为________． 二、选择题（每题5分，共20分） 13．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足：，已知某同学视力的五分记录法数据为4.9，则其视力的小数记录法最接近的数据为（ ） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 14．设集合，,，下列说法正确的是________． 对任意a，P1是P2的子集 对任意a，P1不是P2的子集 存在a，P1不是P2的子集 存在a，P2是P1的子集 A． B． C． D． 15．等比数列的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：是严格增数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 16．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A． B． C． D． 三、解答题（14+14+14+16+18） 17．（本题14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数（其中实数a≠0）． （1）若不等式解集为时，求实数a的值； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围． 18．（本题14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，内角A,B,C满足． （1）求a的值； （2）求的值． 19．（本题14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%． （1）写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数n(n为正整数)的表达式； （2）设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由． 20．（本题16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 已知点、，直线（其中），点P在直线l上． （1）若a、b、c是常数列，求； （2）若a、b、c是等差数列，且，求的最大值； （3）若a、b、c是等比数列，且，求的取值范围． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 已知函数，为的导数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）证明：在区间存在唯一零点； （3）若时，，求a的取值范围． $$