空间向量与立体几何单元检测卷-2024届高三数学一轮复习

《空间向量与立体几何》单元检测题 总分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量与向量垂直，则实数x的值为（    ） A．﹣1 B．1 C．﹣6 D．6 2．已知空间向量，，则的最小值为、（ ） A． B． C．2 D．4 3．已知正方体中，、分别为，的中点，那么直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．在下列结论中：其中正确结论的个数是（    ） ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得. A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图所示，在平行六面体中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在斜四棱柱中，底面是平行四边形，M为与的交点.若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知半径为1的球面上有四个点，，且，则四面体的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．空间直角坐标系中，设坐标原点为，定点A，B，C坐标分别是、、，则有（    ） A．AB长度为 B．是钝角三角形 C．点A到BC的距离为 D．是平面的一个法向量 10．如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，､分别在､上，且，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正切值为 11．已知为棱长为1的正方体对角线上的一点，且（），下列说法正确的是（    ） A． B．最小值为 C． D．若为的中点，四棱锥的外接球表面积 12．正方体的棱长为1，点P在线段BC上运动，则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成的角为60° B．异面直线与所成角的取值范围是 C．二面角的正切值为 D．直线与平面所成的角为45° 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．空间直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则点的坐标为 . 14．已知正三棱柱的所有侧棱长及底面边长都为2，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 15．如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为 . 16．已知边长为1的正方体，M为BC中点，N为平面上的动点，若，则三棱锥的体积最小值为 . 四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）如图，矩形，平面，、、分别是、、的中点. （1）求证：直线平面； （2）求证：直线直线. 18．（本小题满分12分）在四棱锥中，为正三角形，四边形为等腰梯形，M为棱的中点，且，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19．（本小题满分12分）如图在直三棱柱中，，为中点． （1）求证：平面． （2）若，且，求二面角的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知平面四边形，，（如图1所示），现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点，为线段上一点，（如图2所示）． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积． 21．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，四边形为矩形，且，平面平面， （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的余弦值. （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分12分）如图所示，矩形ABCD的边AB=，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据： ①；②；③；建立适当的空间直角坐标系， （1）当BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，可能取所给数据中的哪些值?请说明理由； （2）在满足（I）的条件下，若取所给数据的最小值时，这样的点Q有几个? 若沿BC方向依次记为，试求二面角的大小. $$