精品解析：上海市延安中学2024届高三上学期开学考数学试题

延安中学2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023.9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 集合，则M中元素的个数为________. 2. 已知随机变量，若，则实数的值为__________. 3. 若，则______． 4. 若，则______. 5. 已知直线与直线垂直，则实数a的值为__________． 6. 已知复数，其中，，则复数是纯虚数的概率为__________. 7. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，则展开式中的常数项为_______． 8. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名志愿者将分别安排到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每个场地至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能去一个场地服务，则甲、乙两名志愿者在同一个场地服务的概率为__________． 9. 在中，E为的中点，是线段BE上的动点，若，则的最小值为______. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 11. 设数列满足，若存在常数，使得对于任意的，恒有，则的取值范围是________. 12. 若，，则___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 若x，y为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数为（ ） A. B. C. D. 15. 函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（ ） ①若，则为“回旋数列”； ②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”； ③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则； ④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）规定内写出必要的步骤. 17. 已知数列、满足，，，，且，. （1）求证：是等比数列； （2）若是递增数列，求实数取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，． （1）求证：平行四边形为矩形； （2）若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离． 19. 近年来，随着智能手机普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为"不喜欢网上买菜".某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）是否有99.9%的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关? （2）社区的市民李华周一、周二均在网上买菜，且周一从，两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为；如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求李华周二选择平台买菜的概率； （3）用频率估计概率，现从社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为，事件“”的概率为，求使取得最大值时的的值. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 已知分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点，面积的最大值为. （1）求椭圆方程； （2）若直线与交于点，直线与交于点. ①求直线的方程； ②记面积分别为，求的最大值. 21. 设是定义在上且满足下列条件的函数构成的集合： ①方程有实数解； ②函数的导数满足． （1）试判断函数是否集合的元素，并说明理由； （2）若集合中的元素具有下面的性质：对于任意的区间，都存在，使得等式成立，证明：方程有唯一实数解． （3）设是方程的实数解，求证：对于函数任意的，当，时，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 延安中学2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023