第一章空间向量与立体几何单元检测卷-2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 检测卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的中线长为( ) A. B. C. D. 2.已知向量，单位向量b满足，则a，b的夹角为( ) A. B. C. D. 3.在棱长为1的正方体中，若点M是侧面的中心，则在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 4.如图，在平行六面体中，E，F分别为，的中点，.若，，，则向量可用a，b，c表示为( ) A. B. C. D. 5.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，点M在EF上，且平面BDE，则点M的坐标为( ) A. B. C. D. 6.已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，线段AB，SC的中点分别为E，F，若异面直线EC与BF所成角的余弦值为，则( ) A. B.4 C.2 D.3 7.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面，，M为PC上一动点，.若为钝角，则实数t的值不可能为( ) A. B. C. D. 8.已知长方体中，，，则平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.已知向量，，，则下列等式中成立的是( ) A. B. C. D. 10.如图，已知平面，，，，E为AB的中点，，则以下说法正确的是( ) A. B. C.AB与OC所成角的余弦值为 D.OE与OF所成角的余弦值为 11.如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为CD，的中点，则下列结论正确的是( ) A.点F到点E的距离为 B.点F到直线的距离为 C.点F到平面的距离为 D.平面到平面的距离为 12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有( ) A.当点E运动时，总成立 B.当E向运动时，二面角逐渐变小 C.二面角的最小值为 D.三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，其墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，其中AB与EF之比为，则_________. 14.设，向量，，，且，，则__________. 15.已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为___________. 16.在棱长为3的正方体中，点E，F分别在棱AB，BC上，，点G，H为棱上的动点.若平面平面，，则__________. 四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知空间三点，，，设，. (1)若A，B，C三点共线，求t的值； (2)若，当向量与互相垂直时，求k的值. 18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧棱底面，，，，E为PD的中点. (1)求异面直线AC与PB所成角的余弦值. (2)平面PAB上是否存在一点N，使得直线平面PAC?并说明理由. 19.如图，在平面多边形ABFCDE中，四边形ABFE是边长为2的正方形，四边形DCFE为等腰梯形，G为CD的中点，且，.现将梯形DCFE沿EF折叠，使平面平面ABFE. (1)求证：平面BDF； (2)求直线BD与平面CBF所成角的大小. 20.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为. (1)若E为棱SA的中点，F为棱SB的中点，求证：平面平面SCD. (2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成角的余弦值为?若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由. 答案以及解析 1.答案：B 解析：设BC的中点为D，则点D的坐标为，所以BC边上的中线. 2.答案：C 解析：因为，所以.又，所以，即，所以，则.所以.又，所以.故选C. 3.答案：D 解析：连接，则M为的中点，，坐标为. 4.答案：D 解析：由题意可得.故选D. 5.答案：A 解析：设点M的坐标为.由题意可知，，，，所以，，.因为平面BDE，所以，，即，，所以解得所以点M的坐标为.故选A. 6.答案：B 解析：如图，以D为原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 不妨设，则，，，，，所以，.因为异面直线EC与BF所成角的余弦值为，所以，解得，即.故选B. 7.答案：A 解析：结合题意可知AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图. 设，，则