第一章 空间向量与立体几何单元训练题-2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 训练题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量，，若，，则的值为( ) A.-3或1 B.-2 C.1或-2 D.2 2.已知向量，则与a同向共线的单位向量( ) A. B. C. D. 3.在正四面体ABCD中，E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 4.直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为.若，则实数( ). A. B.1 C.-2 D. 5.在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线CM与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 6.如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则( ) A. B. C. D. 7.已知P为正方形ABCD所在平面外一点，平面ABCD，若，则平面PAB与平面PCD所成角的大小为( ) A. B. C. D. 8.如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，平面ABCD，且，E是PA的中点，则PC到平面BED的距离为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.已知，，，则( ) A. B. C. D. 10.已知两个不重合的平面与平面ABC，若平面的一个法向量为，向量，，则( ) A. B.平面 C.平面平面 D.平面平面 11.如图所示，在一个密封的长方体装置中放一个棱长为1的正方体礼盒，已知，，的长分别为2，3，4.现以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则( ) A. B.的中点坐标为 C.在方向上的投影的数量为 D.的长为 12.如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，如图2，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是( ) A.平面平面BCD B.当，时，点D到直线PQ的距离为 C.线段PQ的最小值为 D.当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为___________. 14.设，，若，则___________. 15.如图，在四棱柱中，平面平面ABCD，且四边形和四边形ABCD都是正方形，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 16.自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同.如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的体对角线的长为_________. 四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知，，，，且，. (1)求； (2)求向量与夹角的大小. 18.如图，已知三棱锥的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且，，E是OC的中点. (1)求异面直线EB与AC所成角的余弦值； (2)求点E到平面ABC的距离. 19.已知几何体ABCDGEF，如图所示，其中四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形，且边长为1，点M在棱DG上. （1）求证：. （2）是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为?若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由. 20.已知三棱锥[如图(1)]的平面展开图[如图(2)]中，四边形ABCD是边长为的正方形，和均为等边三角形. (1)证明：平面平面ABC. (2)棱PA上是否存在一点M，使得平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 答案以及解析 1.答案：A 解析：，.又，.当时，，此时；当时，，此时.故选A. 2.答案：C 解析：因为，所以，所以与a同向共线的单位向量.故选C. 3.答案：C 解析：由题意，可得，所以. 4.答案：A 解析：直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则，解得.故选A. 5.答案：A 解析：设，则，，，所以，，.因为，所以，解得，所以，，，所以，所以异面直线CM与所成角的余弦值为. 6.答案：D 解析：连接AG，并延长交BC于点N，连接ON，如图. 由G是的重心，可得N为线段BC的中点，且.所以.所以，所以.故选D. 7.答案：B 解析：方法一：分析知PA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，.取PD的中点为E，连接AE，则，.