直线专题：直线中的对称问题6种考法-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

直线中的对称问题 一、点关于点的对称问题 1、实质：该点是两对称点连线段的中点 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称 二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程） 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 三、点关于直线的对称问题 1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为 2、常见的点关于直线的对称点 （1）点关于轴的对称点为； （2）点关于轴的对称点为； （3）点关于直线的对称点为； （4）点关于直线的对称点为； （5）点关于直线的对称点为； （6）点关于直线的对称点为； （7）点关于直线的对称点为； （8）点关于直线的对称点为； 四、直线关于直线的对称问题 1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点 第三步：利用两点式写出方程 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行. 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。 题型一 点关于点对称 【例1】（2022秋·新疆省直辖县级单位·高二兵团第十师北屯高级中学校考阶段练习）点A(2，－3)关于点B(－1,0)的对称点A′的坐标是( ) A．(5，－6) B．(－4,3) C．(3，－3) D． 【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）点关于点的对称点为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022秋·全国·高二专题练习）点关于点的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）已知不同的两点关于点对称，则ab＝ . 题型二 直线关于点对称 【例2】（2023·全国·高二专题练习）关于原点对称的直线是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）直线关于点的对称直线方程是 ． 【变式2-3】（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）与直线关于点对称的直线方程是 ． 【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ） A． B． C． D． 题型三 点关于直线对称 【例3】（2023·全国·高二课堂例题）已知直线，则点关于l的对称点的坐标为 ． 【变式3-1】（2022秋·甘肃武威·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，则直线l的方程为（ ） A．x+2y-4=0 B．x-2y=0 C．2x-y-3=0 D．2x-y+3=0 【变式3-2】（2022秋·河南安阳·高二统考期中）已知原点与点关于直线对称，则在轴上的截距为（ ） A．5 B． C． D． 【变式3-3】（2023秋·高二课时练习）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点的坐标是 ． 【变式3-4】（2023·全国·高二专题练习）若点关于直线对称，则 ； ． 题型四 直线关于直线对称 【例4】（2023·全国·高二专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）直线关于直线对称的直线方程是 . 【变式4-2】（2022秋·广东梅州·高二校联考阶段练习）已知直线，它关于直线对称的直线方程为 . 【变式4-3】（2023·全国·高二专题练习）试求直线关于直线对称的直线l的方程． 【变式4-4】（2023·全国·高二专题练习）如果直线与直线关于直线对称，那么 ， ． 题型五 利用对称解决关光线反射问题