专题03 母子型（相似模型精讲精练)-2023-2024学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

专题03 母子型 【基本模型】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 【例题精讲】 例1．（基本模型）在等腰中，顶角，点D在一腰上，连接，线段与底边的长相等．若．则 ；若，则 ． 例2．（作辅助线构造）如图，在中，，，，，，则CD的长为 ． 例3．（培优综合）如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q，使，相交于点O，若，，则的长为 ，的长为 ． 例4．（最值问题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ；当CG取最小值时，CE的长为 例5．（与函数综合）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a、b），且a、b满足a2+4a+4＝，点B为x轴上动点，过点P作PC⊥y轴于点C． （1）求O、P两点间的距离； （2）如图1，点A为y轴上一点，连接PA、PB、AB，若B（﹣4，0），且∠APB＝45°+∠PAC，求点A的坐标； （3）如图2，过点P作PD⊥PB交y轴正半轴于点D，点M为BD的中点，点N（﹣1，0），则MN的最小值为　　（请直接写出结果）． 【变式训练】 1．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 2．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E． （1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED⋅EA=EC⋅EB； （2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积． 3．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，AB=AC=4，，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转至ED，连接CE，则面积的最大值为 【课后训练】 1．如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为 ． 2．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 3．已知：如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，交的延长线于点，求证：． 4．如图，已知中，，是边的中点，是边上一动点，与相交于点． （1）如果，，且为的中点，求线段的长； （2）连接，如果，且，，求的值； （3）连接，如果，且，，求线段的长．        5．在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，过分别作交于，于． ①求证：；②求的值． 6.（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：； （2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值； （3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值． 7．如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示） （2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 8．如图，点是正方形中延长线上一点，对角线相交于点，连接，分别交于点，过点作的垂线，垂足为点，交线段于． （1）若 ，求的大小． （2）求证：． （3）若正方形的边长为1，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 母子型 【基本模型】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 【例题精讲】 例1．（基本模型）在等腰中，顶角，点D在一腰上，连接，线段与底边的长相等．若．则 ；若，则 ． 【答案】 6 【分析】根据等边对等角和外角的性质证明∠A