专题02 X（8）字型（相似模型精讲精练)-2023-2024学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

专题02 X（8）字型 【基本模型】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【例题精讲】 例1．（基本模型）如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于　　 A．3 B．4 C．6 D．8 例2．（作辅助线构造）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则 ． 例3．（最值问题）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ． 例4．（培优综合）如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长． 例5．（与函数综合）如图，在等腰中，，点、分别在轴、轴上． （1）如图①，若点的横坐标为5，求点的坐标； （2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； （3）如图③，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限中作等腰，等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变求的值；若变化，求的取值范围． 【变式训练】 1．如图，G为ABC的重心，AG=12，则AD= ． 2．如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 3．如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时， ． 4．如图，在中，点D在BC上，，连接AD，，则线段AD的长为 ．    5．如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为 cm． 【课后训练】 1．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 2．如图△ABC中，AB=AC=5，BC=8，G是△ABC的重心，GH⊥AB于H，则GH的长为 ．    3．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ． 4．如图，已知和是等边三角形，连接，连接并延长交于点，交于点，，，那么的长为 ． 5．如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为 ． 6．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G． （1）求证：DF•AB=BC•DG； （2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG． 7．（1）如图，若为的内角平分线，请问：成立吗？并说明你的理由． （2）如图，中，，，，为上一点且，交其内角角平分线与．试求的值． 8．如图，正方形中，为边上任意点，平分交于点． 如图1，若点恰好为中点，求证： ；    在的条件下，求的值； 如图2，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点连接当时，求证：．    9．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F． （1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE； （2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC． 10．如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1． （1）请你探究：，是否都成立？ （2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断． （3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 X（8）字型 【基本模型】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【例题精讲】 例1．（基本模型）如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于　　 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【