专题01 A（双A）字型（相似模型精讲精练)-2023-2024学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

专题01 A（双A）字型 【基本模型】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展（反A字型）：斜交A字型条件：，图2结论：； 【例题精讲】 例1．（基本模型）如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 例2．（作平行构造A字型）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 例3．（A字型实际应用）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 例4．（最值问题）如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为 ． 例5．（与函数综合）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点的顶点、的坐标分别为，．顶点在轴的正半轴上，，． （1）求的长度． （2）动点从出发，沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，设的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围． （3）在（2）的条件下，在射线上取一点，使，过作交直线于点，当时，求值和点坐标． 【变式训练】 1．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为 A． B． C． D． 2．如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ． 3．如图，中，点D在边上，且． （1）求证：； （2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数． （3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长． 4．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ． 5．（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：； （2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点． ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证MN2=DM·EN． 【课后训练】 1．如图，在三角形中，点D为边的中点，连接，将三角形沿直线翻折至三角形平面内，使得B点与E点重合，连接、，分别与边交于点H，与交于点O，若，，，则点A到线段的距离为 ． 2．如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE． （1）求证：△DEC≌△EDA； （2）求DF的值； （3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值． 3．如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长． 4．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE． （1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值； （2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长． 5．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G． （1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG； （2）当α≠60°时， ①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG； ②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长． 6．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：和直线l2：的图象交于y轴上的点C，且分别交x轴于点A和点B． （1）求ABC的面积； （2）已知点N为点C关于原点O的对称点，点M是直线AC上一动点，连接BM、BN，MN．求BMN周长的最小值； （3）如图2，P为射线AO上一动点，过P作PH⊥AC于H，连接PC，是否存在△PCH为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 A（双A）字型 【基本模型】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展（反A字型）：斜交A字型条件：，图2结论：； 【例题精讲】 例1．（基本模型）如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分