第四章第01讲 函数、一次函数与正比例函数（知识题型 重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

第01讲 函数、一次函数与正比例函数（重难点） 【知识点一、变量、常量的概念】 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为 .数值保持不变的量叫做常量. 说明：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 【知识点二、函数的定义】 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是 ，是的 . 说明：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； 　　（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义； 　　（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应. 　　（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 【知识点三、函数值】 对于自变量在 内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值. 说明：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 【知识点四、自变量取值范围的确定】 使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫 . 说明：自变量的取值范围的确定方法： 　　首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义： 　　（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； 　　（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 　　（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； 　　（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 【知识点五、函数的几种表达方式】 　　表示函数的方法一般有以下三种： （1）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法. （2）关系式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 说明：函数的三种表示方法各有不同的长处. 关系式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出关系式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 【知识点六、函数的图象】 对于一个函数，如果把 与 的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的 . 说明：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 【知识点七、正比例函数的定义】 1、正比例函数的定义 一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做 .其中叫做 . 2、正比例函数的等价形式 （1）、是的正比例函数； （2）、（为常数且≠0）； （3）、若与成正比例； （4）、（为常数且≠0）. 【知识点八、正比例函数的图象与性质】 正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过 的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第 象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第 象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小. 【知识点九、待定系数法求正比例函数的解析式】 由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值. 【知识点十、函数图象及一次函数的定义】 1.函数图象的概念 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该 . 2.一次函数的定义 一般地，形如 （，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当＝0时，即，所以说 是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 3.画函数图象的一般步骤 总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤