2.3对称问题 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.3 对称问题 一、情境导学 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小? 上一节中一例题的思考： 思考：若你取的点Ｂ为Ｂ（２，２），本题又该如何解决？ 【例２】　一束光线经过点P(2,3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1,1)，则入射光线所在直线的方程为__________________. 5x－4y＋2＝0 类型(二)　点关于线的对称 方法归纳：对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′ . (2a－x0,2b－y0) 特殊情形 最值问题 【例6】 已知A(4,1),B(0,4)两点,在直线l:3x-y-1=0上找一点M,使得||MA|-|MB||的值最大,并求此时点M的坐标及最大值. 方法技巧 本题是对称问题在求线段和、差的最值上的应用,利用对称问题可以解决类似的两类问题:一类是在定直线上找一点M,使点M到两定点A,B的距离之差||MA|-|MB||最大;一类是在定直线上找一点M,使点M到两定点A,B的距离之和||MA|+|MB||最小,这时还要考虑A,B两点在直线的同侧还是异侧. 教师备用例题 【例1】 光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程. 　对称问题 例1．函数y＝eq \r(x2＋1)＋eq \r(x2－4x＋8)的最小值是(　　) A．0 B.eq \r(13) C．13 D．不存在 解析：原函数可化为y＝eq \r(x－02＋0－12)＋eq \r(x－22＋0＋22)， 设P(x,0)，A(0,1)，B(2，－2)． 类型(一)　点关于点的对称 例1：过点P(0,1)作直线l使它被直线l1： 2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的 线段被点P平分，则直线l的方程为______． 解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上， 所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0 解析　设点Q(1,1)关于直线l的对称点为Q′(x′，y′)，由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y′－1,x′－1)＝1，,\f(x′＋1,2)＋\f(y′＋1,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝－2，,y′＝－2，)) 即Q′(－2，－2)，由光学知识可知，点Q′在入射光线 所在的直线上，又kPQ′＝eq \f(3－－2,2－－2)＝eq \f(5,4)， ∴入射光线所在直线的方程为y－3＝eq \f(5,4)(x－2)，即5x－4y＋2＝0. (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′. 类型(三)　线关于点的对称 例3．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________． 解析：在直线l上取两点B(1,1)，C(10,7)，B，C两点关于点A的对称点为B′(－3，－5)，C′(－12，－11)，所以直线m的方程为eq \f(y＋11,－5＋11)＝eq \f(x＋12,－3＋12)，即2x－3y－9＝0. 答案：2x－3y－9＝0 技法归纳　线关于线的对称的求解方法 (1)若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． (2)若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解． 类型(四)　线关于线的对称 例4．直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________． 解析：法一：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y＋3＝0，,x－y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1.)) 在直线2x－y＋3＝0上取一点(0,3)， 设其关于直线x－y＋2＝0的对称点为(a，b)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\