2.3.3 点到直线的距离公式 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.3.3点到直线的距离公式 思考？ 已知点P0(1，1)和直线l：x +y -4=0，如何求点P到直线 l 的距离？ x o P0 Q l y 点P到直线 l 的距离，是指从点P0到直线 l 的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足． L L1 Q P(x0,y0) L:Ax+By+C=0 已知：点P(x0,y0)和直L:Ax+By+C=0，怎样求点P到直线L的距离呢？ 过点P作直线L1⊥L于Q, 怎么能够得到线段PQ的长? 利用两点间的距离公式求出|PQ|. 则线段PQ的长就是点P到直线L的距离. 解题思路： 步 骤 (3)求出Q点的坐标； (4)由两点间距离公式d=|PQ|. 反思：这种解法的优 缺点是什么？ 分析思路一：直接法 预备知识： 对于直线 l: Ax+B y +C=0 (A≠0,B≠0) 方向向量和法向量 可表示为： 如果向量 与直线l垂直， 则称向量 为直线l的法向量. 如果向量 与直线l平行， 则称向量 为直线l的方向向量. 可表示为： P1 P2 x y 0 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？ 如图，点P到直线l的距离，就是向量的模，设是直线l上的任意一点， 是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量, =。 思考：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量？ 分析思路二：向量法 设 直线l：上的任意两点，则是直线l的方向向量。把, 两式相减，得 ，由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直，向量 就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量， 我们取 ，从而= = 因为点在直线l上所以代入上式，得= 因此= 探究教材P76思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？ x y O 面积法求出P0Q 求出点R 的坐标 求出点S 的坐标 利用勾股定理求出SR 用直角三角形的面积间接求法 R S d 求出P0R 求出P0S 分析3：面积法 x y P0 (x0,y0) O x0 y0 S R Q d 独立完成推导过程 点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线 l ：Ax +By +C=0的距离为： 特别地，当A=0，B0时， 直线By+C=0 特别地，当B=0，A0时， 直线Ax+C=0 点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线 l ：Ax +By +C=0的距离为： 特别地，当A=0，B0时， 直线By+C=0 特别地，当B=0，A0时， 直线Ax+C=0 注： (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式, 应先化成一般式再用公式. (2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用. 例1 求点P0（-1, 2）到下列直线的距离 （1） 2 x+ y -10=0； （2） 3 x=2。 典例解析 例３．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________. [0,10] 所以a的取值范围是[0,10]. 例1： 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等, 求直线l的方程. 即x+3y-5=0. 综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0. 解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等, 故x=-1满足题意; 当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时, 设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0, 由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得 备选例题 (方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点. 当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB, 当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1. 综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0. 即x+3y-5=0. 注意（易错点）：用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意. 备选例２.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5,0)到直线l的距离为3，则l的方程为________________. 解析　法一 两直线交点为(2,1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0， 此时A到直线l的距离为3，符合题意； 当斜率存在时，设其为k