2.3.2 两点间的距离公式 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.3.2 两点间的距离公式 学习目标 课程目标 学科素养 A. 掌握平面上两点间的距离公式. B.会运用坐标法证明简单的平面几何问题. C.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与数形结合思想 1.数学抽象：平面上两点间的距离公式. 2.逻辑推理：平面上两点间的距离公式.的推导 3.数学运算：平面上两点间的距离公式的应用 4.直观想象：平面上两点间的距离及其公式 新课导入 教材P72探究：已知平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) ，如何求P1, P2间的距离？ y x o P2 P1 问题2：教材P73思考：你能利用民P1，P2构造直角三角形利用勾股 定理求解两点间距离？ 答案：如图，在Rt △P1QP2中， |P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2， 与向量法比较，你有什么体会？ 问题2：教材P73思考：你能利用民P1，P2构造直角三角形利用勾股 定理求解两点间距离？ 5 两点间距离公式 两点间的距离公式 例1已知点A(-3,4),B(2, ),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 跟踪训练 变式：已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值. 解:以BC所在直线为x轴,以线段BC的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示. 跟踪训练 例2 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 证明：如图，四边形ABCD是平行四边形．以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系 在▱中，点A的坐标是 ，设点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，由平行四边形的性质，得点C的坐标为 ． 由两点间的距离公式，得 所以 所以 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 坐标法及其应用 1.坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点: (1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算; (2)如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴. 2.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤: (1)建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上; (2)用坐标表示有关的量; (3)将几何关系转化为坐标运算; (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系. 归纳总结 拓展探究 例1.已知点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为 解析　由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，此方程是过直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0交点的直线系方程. 备选例题 课后作业 3.活页练习：2.3.2选填部分 1.教材P74练习（书上） 2.教材P79习题2.3T3，4，5，12，17（作业本） 所以|P1P2|＝. 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝. 2．两点间距离公式的理解 (1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成 |P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12). (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 1.平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为 |P1P2|＝ . 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ . eq \r(x2－x12＋y2－y12) eq \r(x2＋y2) 解:设点P(x,0),则有|PA|=,|PB|=. 由|PA|=|PB|,得x2+6x+25=x2-4x+7, 解得x=-.即所求点P为-,0, 且|PA|=. ∵正三角形ABC的边长为a, ∴B-,0,C,0,A0,a.设P(x,y),由两点间的距离公式,得 |PA|2+|PB|2+|PC|2 =x2+y-a2+x+2+y2+x-2+y2 =3x2+3y2-ay+ =3x2+3y-a2+a2≥a2, 当且仅当x=0,y=a时,等号成立, 故所求最小值为a2,此时点P的坐标为0,a. 例3．函数y＝eq \r(x2＋1)＋eq \r(x2－4x＋8)的最小值是(　　) A．0 B.eq \r(13) C