2.3.1 两条直线的交点坐标 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.3.1 两条直线的交点坐标 思考1:一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点坐标？ 几何元素及关系 代数表示 点A A(a, b) 直线l L:Ax+By+C=0 点A在直线l上 直线l1与l2的交点是A 点A的坐标是方程组的解 Aa+Bb+C=0 新知探究1:交点 2 两条直线的交点： 如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成 的方程组 的解； 反之，如果方程组 只有一个解， 那么以这个解为坐标的点就是直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 新知探究1 交 点 设两条直线的方程是 l1: A1x+B1 y +C1=0， l2: A2x+B2 y +C2=0. 说明： 若方程组有唯一解，则直线l1 与 l2 相交 ； 若方程组有无数解，则直线l1 与 l2 重合 ； 若方程组无解，则直线l1 与 l2 平行 。 这两条直线是否有交点 A1x+B1 y +C1=0， A2x+B2 y +C2=0. 方程组 是否有唯一解。 若直线l1和l2为一般式方程： l1: A1x+B1y + C1=0 , l2: A2x+B2y+C2=0 ， 直线 l1∥l2 的充要条件是： 直线 l1⊥l2 的充要条件是： 直线 l1与l2 相交充要条件是： 直线 l1与l2 重合的充要条件是： 探究2 两条直线的位置关系 例1. 若直线l1和l2为一般式方程： l1: A1x+B1y + C1=0 , l2: A2x+B2y+C2=0 ， 直线 l1∥l2 的等价条件是： 直线 l1⊥l2 的充要条件是： 直线 l1与l2 相交充要条件是： 直线 l1与l2 重合的等价条件是： 例2：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－5=0）。 证明：联立方程 3x+2y－1=0 2x－3y－5=0 o x y (1, - 1) M 解得： x=1 y= - 1 代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0 得 0+λ·0=0 ∴M点在直线上 拓展:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0是过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。 M（1，- 1） 即 探究3 过两条直线的交点的直线系方程 拓展探究:过交点的直线系 思考1:经过直线l1:3x+2y－1=0与直线l2:2x－3y－5=0的交点可作无数条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？ 思考2:上述直线l1与直线l2的交点M(1,-1)在这条直线上吗？当m，n为何值时，方程 分别表示直线l1和l2？ n=0,m≠0表示直线l1 ,m=0,n≠0表示直线l2 k存在: y+1=k(x-1)；k不存在: x=1 思考3:方程 表示的直线包括过交点M（1，-1）的所有直线吗？ 不表示2x-3y-5=0这条直线 数学本质 10 思考4:方程 表示经过直线l1和l2的交点的直线系，一般地，经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可怎样表示？ m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0 或A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 拓展探究:过交点的直线系 11 （1）平行直线系方程： 的直线系方程是 A x + B y + λ= 0 (λ≠C) ， λ是参变量. 小结：直线系： 具有某一共同属性的一类直线的集合。 （2）垂直直线系方程： 的直线系方程是 B x -Ay + λ= 0 (λ是参变量) . 与直线 A x + B y + C = 0 平行 与直线 A x + B y + C = 0 垂直 （3）共点直线系方程： l1: A1 x + B1 y + C1 = 0 ， l2: A2 x + B2 y + C2 = 0 交点的 经过两直线 直线系方程是 A1 x + B1 y + C1+ λ( A2